Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Определение 2.2.11. В топологическом пространстве точка x0 называ-
A
ность точки x0 имеет непустое пересечение с множеством A.
Любая точка множества A есть точка его прикоеновения. Точки 0 , 1
(0 , 1)
прямой R1.
Теорема 2.2.1. Множество всех точек прикосновения множества совпадает с его замыканием.
Доказательство. Обозначим множество точек прикосновения множества A еимволо м A .Докажем, что [A] -замкнутое множество. Пусть x0 Є С ([A]) Тогда существует такая открытая окрестность V(x0), что V(x0) П A = 0. Докажем, что эта окрестность удовлетворяет условию: V(x0) P)[A] = 0. Пусть y0 Є V(x0) P[A]. Так как y0 Є [A] и V(x0) есть открытая окрестность точки y0, окреетность V (x0) должна иметь непустое
A
V(x0) [A]
V(x0) [A]
[A] [A]
Cl(A)
A
(2.31)
Cl(A) С [A].
(2.32)
113
Докажем, что выполнено включение
C(Cl(A)) С C([A]).
x0 Є C(Cl(A)) C(Cl(A))
открытая окрестность V(x0) точки x0, что V(x0) С C(Cl(A)), Эта окрест-
V(x0) Cl(A) = 0 V(x0) A = 0
x0 Є [A] дует утверждение теоремы,
x0
A
A
x0
Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что в силу только что доказанной теоремы в метрическом пространстве точка x0 A
x0 A
Из определения 2,1,4 следует, что расстояние между точкой и множеством равно нулю в том и только том случае, если существует принадлежащая множеству последовательность, которая сходится к этой точке.
Поэтому из 2.2.2 вытекает
A
странства, то x Є A в том и только том случае, если dist(x , A) = 0.
Заметим, что расстояние между двумя замкнутыми непересекающимися множествами может быть равно нулю. Приведем пример. В плоскости R2 с обычной топологией рассмотрим множества
A = {(xi , x2) | xix2 = 0} , B = {(xi , x2) | xix2 = 1}.
AB Множества A и B замкнуты и не пересекаются, но dist (A ,B) = 0.
Важное свойство замкнутых множеств в полном метрическом пространстве описывается в теореме, которая по историческим причинам носит название теоремы Бэра о категориях. Термин категория в этом названии не имеет ничего общего со своим современым значением.
Теорема 2.2.2. Если полное метрическое пространство M есть счетное объединение своих замкнутых подмножеств:
M = U Ara , Vn: Cl(Ara) = An,
114
то одно из этих подмножеств содержит открытый шар:
3(An, є> 0 , b(xo , є))) : b(xo , є) c An.
Доказательство. Если M = A1, то все доказано: множество A1 содержит все шары пространства M Если C(A1) = 0, то множество C(A1)
x1
C(A1)
3b(x1 ,Є1) c C(A1).
Очевидно, что
b(x1, Є1)р| A1 = 0.
Если шар b(x1, є 1 /4) содержится в множестве A2, то все доказано. Если b(x1, є1 /4) c A2, то множество C(A2) Q b(x1, є1 /4) открыто и сооержит
x2 C(A2) b(x1 , є1
содержит открытый шар:
3b(x2 , Є2) : b(x2 , Є2) c C(A2^ b(x1 , Є1/4)
Мы можем выбрать радиус этого шара так, что Очевидно, что
b(x2 ,Є2)(] UlJ A
2=
Так мы либо на n-ом шаге построения получим шар, который целиком
An
ность шаров {b(xn , єп)}, которые удовлетворяют условиям:
b(xn , Єп) d b(xn , Єп/4) d b(xn+1 , Єп+1) d ... ; Єп+1 < 1 Єп,
b(xn ,єп) И ( U AA = 0 , . (2.34)
\1<j<n J
Очевидно, что
d(xn , xn+m) ^ d(xn , xn+1) + . . . d(xn+m—1 , xn+m) ^ 1,111 ,1
4Єп(1 + 4 + 4 ¦ 4 + ...) < зЄп.
115
Так как en — 0 , n — то, то отсюда следует, что последовательность {xn} сходится, причем ее предел ./-,,лежні в ш аре b(xn , en):
Vn: d(xn , x0) < 16n. В силу соотношения (2.34) отсюда следует, что
Vn : x0 Є !J Aj,
x0 Є M
В заключении заметим, что в топологическом пространстве множество может быть открытым, замкнутым, открытым и замкнутым одновременно и ни открытым, ни замкнутым.
2.2.3 Непрерывные отображения.
Определение 2.2.12. Отображение
f: X — Y (2.35)
X
YX Y x0 Є X
f-1(V(y0)) С X любой окрестности V(y0) С Y точки y0 = f(x0) есть x0
Очевидна
x0 Є X
для, любого множества V(y0) Є ?(y0), где B(y0) С TY -локальная, база, топологии в точке y0 = f (x0), существует такая окрестность U(x0) Є B(x0) С TX из локальной, базы, топологии в точке x0, что f (U(x0)) С
V M-
Отсюда следует Лемма 2.2.5. Отображение
f: M1 — M2
метрического пространства, (M1, ^1) в метрическое пространство (M2 , d2)
x0
V(e > 0) , 3(?(б) > 0) : f (b(x0 , <*(б))) С b(f (x0) , є). (2.36)
116
Как и в курсе математического анализа, легко доказывается, что условие (2,36) эквивалентно условию:
Определение 2.2.13. Отображение (2.35) топологического пространства X в топологическое пространство Y непрерывно, если оно непрерывно в каждой точке прстранства X.
Примеры непрерывных отображений хорошо известны: любая функция, которая непрерывна на отрезке [0 , 1] в смысле того определения, которое давалось в курсе математического анализа, есть непрерывное отоб-[0 , 1]
с метрикой d(x , y) = |x — y|, в действительную прямую R1, рассматриваемую как метрическое пространство с той же метрикой.
Заметим, что непрерывно отображение или нет, это свойство зависит и от топологии в области определения функции, и от топологии в области значений функции. Любое отображение дискретного пространства в любое пространство непрерывно. На антидискретном пространстве непрерывны только постоянные отображения, а отображение любого пространства в антидискретное непрерывно. На определенном в примере 2.2.4 пространстве (свернутом в окружность пространстве стрелок) рассмотрим функцию
