Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
(J> — а*) < 6) (Y |/(аг) — /(Ь.)| < 1).
i i
Пусть
T = {а = x0 < x1 < ... < xn = Ь} -произвольное разбиение. Без ограничения общности будем считать, что
Vi : xi+1 — < 6.
Определим последовательность j (k) по правилу:
j (0) = 0 , j (k + 1) = max{j ^Y (x*+1 — xi) < 6}.
j(k)<i<j
Имеем:
E |/(xj+1) — /(xj)| = E ( Y |/(xi+1) — /(xi)|)
0<j<ra 0<fc<N j(fc)<i<j(fc+1)
< (N +1) ,N = [(Ь — а)/6].
Так как это неравенство справедливо для любого разбиения, то теорема доказана.
Выше мы привели пример непрерывной функции с неогрниченной вариацией. Следовательно, существуют непрерывные, но не абсолютно непрерывные функции. Функция Кантора есть пример функции с ограниченным изменением, но не абсолютно непрерывной.
/(x)
[а , Ь]
x ^ V(/)x [а , Ь]
86
Доказательство. Пусть дано б > 0. Найдем такое 5(e) > 0, что (J> - аг) < 5(e)) \f (аг) - f (Ъг)\ < б).
i i
Для каждого отрезка [ai, bi] найдем такое разбиение
Ti {аі xi , 0 < xi , 1 < . . . < xi, n(i) bi },
что
V(f? < \f (Xi,J+i) - f (Хі,3)\ + 2-ie.
0<j<n(i)
Так как интервалы (xij+1, xi,j•) не пересекаются и
5^(xi,j+i - xi,j) < 5(б) i,j
то
Y V(f Й < E \f (Xi, j+i) - f (Xi,j)\ + б < 2e.
i і, j
Так как отрезки [ai, bi] произвольны, то теорема доказана.
Следствие 1.2.3. Любая абсолютно непрерывная, функция, есть разность двух неубывающих абсолютно непрерывных функций:
f (х) = V(fУа - (V(fУа - f (х)).
Напомним определение интеграла Лебега-Сильтьеса. Пусть F(x) -неубывающая непрерывная справа ограниченная функция на отрезке [а, Ъ] С R1 , F(Ъ) < оо , F(а) = 0, и пусть f (x) -непрерывна на отрезке [а, Ъ], а T = {а = X0 < X1,... < Xn = Ъ} -разбиение отрезка [а, Ъ]. Составим интегральную сумму
S(T , f )= E f (Cj)(F(Xj+1) - F(Xj)) , Cj Є (Xj+1, Xj). 0< j<n
Предел таких сумм при стремлении диаметра разбиений к нулю называется интегралом Римана-Стильтьеса:
lim о S (T,f) := ff (x)dF (x).
diamT^O Ja
87
Теперь рассмотрим пространство C([а, Ь]) всех непрерывных функций [а , Ь]
ниэля и интеграл Римана-Стильтьеса как элементарный интеграл и построим расширение этого интеграла. Полученный интеграл называется интегралом Лебега-Стильтьеса и мы будем обозначать его тем же символом, что и интеграл Римана-Стильтеса. Если характеристическая функция множества A С [а, Ь] интегрируема, то число
?(F | A) := У I(A | x)dF(x)
называется мерой, порожденной монотонной функцией F(x). Если F(x) =
x
|A| := j I(A | x)dx.
{ x ( j ) } F ( x)
x(j): F(x(j) + 0) — F(x(j) — 0) > 0.
{ x( j) }
Fd(x):= Y F(x(j) + 0) — F(x(j) — 0).
x(j)<x
Пусть
Fc(x) := F(x) — Fd(x).
Функция Fc(x) непрерывна на отрезке [а , Ь] и монотонно не убывает. Следовательно, она порждает интеграл и меру Ai FC | •) на борелевских
[а , Ь]
V(a ,в) С [а, Ь] : A(Fc | (а , в)) = Fc(^) — Fc(a).
К мере A(Fc | •) и мере Лебега на отрезке [а, Ь] можно применить разложение Лебега, а к абсолютно непрерывной части меры A(Fc | •) можно применить теорему Радона-Никодима. Так мы получим следующее утверждение.
Теорема 1.2.15. Монотонно неубывающую непрерывную справа неотрицательную функцию F(x) на, отрезке [а, Ь] можно представить как сумму трех функций:
F (x) = Fac(x) + Fsi„fl (x) + Fd(x), (1.189)
88
где
Fd(x):=Y F) + 0) - F(x(j) - 0).
x(j)<x
-функция скачков, a
x
Fac(x)= u(t) dt,F8ing (x) = A([a,x) f| B), (1.190)
J a
где UJ(t) -неотрицательная интегрируемая no Лебегу функция, А боре-левская мера на отрезке [a , b] ,B -множество лебеговой меры ноль.
Заметим, что для функции Кантора отлична от нуля только составляющая Fsing.
Разложение (1.189) также называется разложением Лебега .
F(x)
[a , b]
только том случае, если
Fd = Fslng = 0 и F(x) = F(a) + /" f (t)dt , f (t) Є L([a , b]).
a
Теорема 1.2.16. Если функция, f интегрируема: f Є L([a , b]), то для, любого б > 0 существует такое 5(e) > 0, что для, любого множества А, мера которого меньше 5(e), выполнено неравенство
I |f (x)|dx < е. (1.191)
Ja
Доказательство. Согласно лемме 1.1.12 (см. стр. 28) для данного е > 0 и данной функции f Є L([a , b]) существует такая непрерывная функция ф Є C([a , b]), что
|f (x) - ф^)^ < е/2.
a
Пусть
M = sup{^(x)| | x Є [a , b]}.
| А| А
V(|А| <e/2M): f f (x^dx< f f (x) - ф^)^ + f ^(x)|dx< Ja Ja Ja
e/2 + M|А| < е.
Теорема доказана.
89
Следствие 1.2.4. Если, f (t) Є Ь([а, Ъ]), то функция
F(х)= IХ f (t)dt
a
[а , Ъ]
Для любого множества E С [а , Ъ] можно определить внешнюю меру:
\EU = inf{\A\ \ E С A}.
E
Лебега. Отметим очевидное неравенство
\AUB\oM* < \A\o«* + \B\out. Определение 1.2.21. Система отрезков
S0 = {Ia \ Ia = [аа , Ъа] С [а , Ъ]}
E С [а , Ъ]
вия:
1. E С (J Ia , Va : = 0.
a
2. V(x Є E , б > 0) , 3(I(x , б) Є S0) : X Є I(x, б) , 0 < \I(x , e)\ < б.
S0
E
подсистему
{Ij \ 1 < j < то} С S0,
которая, удвлетворяет условиям,: Ij
V(j = г): /?П Ii = 0. 2. Выполнено соотношение:
lim \E \ \\ Ij U = 0.
n—>оо ---
1 < j< n
90
Доказательство. Пусть
а0 = SUp{\Ia\ \ Ia Є S0}.
S0
I1
Положим
51 = {Ia \ Iaf| I1 = 0}
Пусть
а1 = SUp{\Ia\ \ Ia Є S1}.
По определению точной верхней грани система S1 содержит такой отрезок I2 , I2 П I1 = 0, который удовлетворяет условию:
