Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арсеньев А.А. -> "Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике" -> 22

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.

Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике — НИЦ.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 505 c.
Скачать (прямая ссылка): lekcpofunkcanalizu2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 110 >> Следующая

76
Теорема 1.2.9. Для любой определенной на а-алгебре A подмножеств множества X счетно-аддитивной функции множеств ц существуют такие подмножества E± С X , E± є A, что
X = E+ |J E- , E+ Q E- = 0 (1.164)
V(A є A) : MA Pl E+) > 0, (1.165)
V(A є A) : ?(Af) E-) < 0. (1.166)
Доказательство. Мы будем называть подмножество E+ С X , E+ є A положительным, если выполнено условие (1.165), и будем называть подмножество E- С X , E- є A отрицательным,, если выполнено условие (1.166). Семейство всех положительных (отрицательных) множеств не пусто: пустое множество всегда есть одновременно и положительное множество, и отрицательное множество. Ясно, что любое принадлежащее а-A
есть множество положительное (отрицательное), пересечение положительных (отрицательных) множеств есть множество положительное (отрицательное), объединение положительных (отрицательных) множеств есть множество положительное (отрицательное). Пусть
? = inf ?(B),
где нижняя грань берется по всем отрицательным множествам. Из определения точной нижней грани следует, что существует такая последовательность отрицательных множеств {Bn}, что
? = lim MBn).
n—оо
Без ограничения общности можно считать, что Bn С Bn+1, поэтому
? = MU Bn),
n
а так как
( Bn) є A,
n
то
? > -оо.
Положим
E- :=U B
(1.167)
77
Определенное равенством (1,167) множество отрицательно и удовлетворяет равенству
в = ?(E--).
Для доказательства теоремы нам достаточно доказать, что множество
E++ := X \ E-- (1.168)
обладает следующим свойством:
v(A c E+ ,A єА): ?(A) > 0. (1.169)
Мы докажем, что отрицание этого утверждения ведет к противоречию.
E0 c E-+ ?( E0) < 0.
E0
?(E--|J E0) = ?(E-- )+ ?(E0) <?,
что противоречит выбору числа ?. Следовательно, существуют такие A c E0, ?(A) > 0.
є1 = sup{?(A) | A c E0}.
Справедливо неравенство
Є1 > 0,
и существует такое множество
A1 c E0 ,что ?A) > 1Є1.
Положим
E1 = E0 \ A1 .
Из равенства
?(E0) = ?(E1) + ?(A1)
следует, что
?(E1) < 0.
E1
отрицательным, поэтому
є2 := sup{?(A) | A c E1} > 0, и существует такое множество
A2 c E1,
78
что і
?(A2) > 2Є2.
Продолжая этот процесс по индукции, мы получим последовательность множеств
En = En-1 \ An ,An c En-1, An р| Am = 0 ,n = m, и последовательность чисел
tn = sup{?(A) | A c En-1}, 0 < 1 tn < ?(An).
Пусть
A = An.
n
Так как A є A, то ?(A) < то, и
2 E єп <Y1 ?(An) = ?(A) < oc.
nn
поэтому
lim tn = 0.
n—>oo
E0 \ A
венству
?(E0 \ A) < 0,
чего, как мы видели выше, быть не может. Теорема доказана. Положим
?±(A) = ±?(Af)E±). (1.170)
Определенные равенством (1.170) функции множеств ?± неотрицательны, счетно-аддитивны и являются мерами на <т-агебре a, причем справедливо равенство
v(A є a) : ?(A) = ?+(A) — ?-(A).
Равенство (1.171) называется разложением Хама (подразумевается, конечно, что это то разложение, которое сделал Хан).
Разложение Хана единственно в следующем смысле: если E± другие множества, удовлетворяющие теореме 1.2.9, то
v(A є a ,A c E +р| E-): ?(A) = 0.
79
1.2.9 Общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве IJ'(X).
Линейным непрерывным функционалом на пространстве Lp(X) называется такое отображение
l : Lp(X) — C1,
которое линейно:
l(af + ?g) = al(f)+ ?l(g),
и непрерывно:
|lfn)| - 0 .осп, \\fn | Lp(X )\\ - 0 , n - оо. (1.172)
Условие (1.172) выполнено, если
3C< оо : |l(f)| <C|f | Lp(X)\\. (1.173)
Можно показать, что условие (1.173) является необходимым и достаточным условием непрерывности линейного функционала. Число
|l | Lp(X )*\\ :=sup{|l(f )||\\f | Lp(X )\\< 1}
называется нормой линейного функционала.
Общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве LP(X) 1 < p < оо описан в теореме 1.2.10. Доказательсву этой теоремы мы предпошлем несколько лемм. Мы будем предполагать, что условие 1.1.8 выполнено: функция f0(x) = 1 принадлежи! пространству L0(X) и выполнено условие нормировки:
I (1) = 1.
Ниже мы будем предполагать, что p и q -сопряженные показатели степени:
11
- + - = 1, p q
причем 1 < p < оо.
Лемма 1.2.13. Если и Є Lq(X), то формула
l(f) = I (uf) (1.174)
задает линейный непрерывный, функционал, на, пространстве Lp(X), причем, норма этого функционала есть
\\l | Lp(X)*\\ = \\и | Lq(X)\\. (1.175)
80
Доказательство. Из теоремы 1.1.4 следует, что правая часть (1.175) корректно определяет линейный функционал на Lp (X), из неравенства Минковского следует оценка
)|<||и | Lq (X )||.||/ | Lp(X )||,
из которой вытекает, что задаваемый формулой (1.174) линейный функционал непрерывен и его норма удовлетворяет неравенству
||1 | Lp(X)*|| < ||и | Lq(X)||. (1.176)
Пусть
)|q/p||u | Lq(X)||-q/p.
Тогда
/ є Lp(X) , ||/||p = 1,
и
1(/) = ||и | Lq(X)||.
Следовательно,
||1 | Lp(X)*|| = ||и | Lq(X)|| .
Лемма доказана.
Лемма 1.2.14. Если 1 -линейный, непрерывный функционал, на, пространстве Lp(X), то существует такая функция u(x) є Lq(X) что справедливо равенство (1.175).
Доказательство. Пусть ? -мера, порожденная интегралом / п A есть а-алгебра множеств, измеримых относительно A. Формула
V(A є A) : v(A) = Z(I(A | .)) (1.177)
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed