Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арсеньев А.А. -> "Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике" -> 31

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.

Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике — НИЦ.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 505 c.
Скачать (прямая ссылка): lekcpofunkcanalizu2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 110 >> Следующая

Легко видеть, что эта функция непрерывна, если ее рассматривать как отображение свернутого в окружность пространства стрелок в действительную прямую с естественной топологией.
Теорема 2.2.3. Пусть
-отображение топологического пространства, (X , Tx) в топологическое пространство (Y , TY). Следующие условия эквивалентны:
1. f непрерывно на, X.
2. Образ замыкания любого множества содержится в замыкании образа:
V{x„}: (x.
n
x0) == (f (xn) — f (x0)).
f : X - Y
(2.37)
(B = Cl(B)) = (Cl(f-1(B )) = f-1(B)).
(2.38)
117
4- Прообраз всякого открытого в Y множества открыт в X:
W(B Є Ty): f—1(B) Є Tx. (2.39)
Доказательство. Докажем, что из первого условия следует второе. Пусть отображение f непрерывно в смысле определения 2.2.13 и x0 Є Cl(A). Пусть V(y0) Є TY -произвольная открытая окрестность точки y0 = f (x0) и U(x0) Є Tx -та окрестность точки x0, которая в силу определения непрерывности удовлетворяет условию
f (U(xo)) C V(yo).
Так как xo Є Cl(A), то U(xo)f) A = 0, поэтому f (U(xo))C\ f (A) = 0-
Следовательно,
V(yo) f(A) = 0.
yo
f(A) yo Є Cl(f(A))
f(Cl(A)) C Cl(f(A)).
B
Y A = f—1(B).
f(Cl(A)) C Cl(f(A)) = Cl(B) = B,
поэтому
Cl(A) C f—1(B) = A
A
A
C(A)
C(f—1(A)) = f—1(C(A))
f—1(A)
x Є X
пены условия леммы 2.2.4, поэтому отображение непрерывно в каждой x Є X
Перечислим некоторые очевидные свойства непрерывных отображений.
Если отображение (2.35) непрерывно, Imf = Y и отображение д: Y ь-> Z непрерывно, то композиция отображений д о f : X ь-> Z непрерывна.
118
Если {fa} -произвольное семейство отображений множества X в топологические пространства Y(а), то система множеств
B = {O I O = f—1(A) ,A є Ty(a)} X
fa
{ fa}
В частности, определяемая по (2,30) база топологии в произведении
Yl XT пространств является инициальной топологией относительно кот Єї
печных систем отображений проектирования
P(т(J)) : П Xt ь Xt{j) , 1 < J < n (2.40)
т Єї
P (т (J))(U xt ) = xtu). (2.41)
т Єї
{ fa }
X( а) Y
B = {B I f—1(B) ЄTx{a)}
Y
{ fa }
Y
Если T1 , T2 -две топологии на множестве X, то говорят, что топология T1 сильнее (обознач ение -.T1 У T2) тополог пи T2 (или тополо гия T2 слабее топологии T1), есл и T2 C T1, т.е. если каждое множество, откры-
T2 T1
то говорят, что соответствующая топология строго сильнее (слабее).
T1 T2
димо и достаточно, чтобы было непрерывным тождественое отображение пространства (X , T1) в пространство (X , T2). A C X
ства (X , Tx), то на множестве A можно ввести топологию Ta, положив по определению Ta = {0 , A, Af]O}, вде O Є Tx. Тополог ия Ta называется индуцированной топологией. Вообще говоря, открытые и или замкнутые подмножества топологии Ta не являются открытыми или замкнутыми подмножествами топологии Tx. Приведем пример. Пусть X = R1 с обычной тополог пей и A = [0, 1). В этом случае множество A в топологии Tx ии открыто, ни замкнуто, а в топологии Ta множество A
119
A
странства (X , TX), то подмножество B С A открыто в топологии TA в том и только том случае, если множество B открыто в топологии TX A
TX, то подмноже ство B С A замкнуто в топологии TA в том и только
B TX
Доказательство. Еел и Au B С A открыты в топол огни TX, то множество B = A Г] B открыто в топологии TA, поэтому любое множество,
TX с TA A
и B открыто в топол огни TA, то B = A P О, где О открыто в топол о-TX B TX A B С A
TX с CX(B) TX
CA(B) = A CX(B) TA
B TA A TX
B С A замкнуто в топологи и TA ,то A \ B открыто в топол огии TA, поэтому A \ B = A P О, где О открыто в топол огии TX и множество CX(B) = (A O) (CX(A)) TX B
TX
2.2.4 Аксиомы отделимости.
Взаимоотношения точки и окрестности в топологическом пространстве регулируются аксиомами отделимости. Вот список часто используемых аксиом отделимости.
T0
ства имеет окрестность, которая не содержит другую точку.
T0
влетворяет ниже следующим аксиомам) приведен в примере 2.2.1
2. AKCUOMaT1. Каждая из двух любых точек пространства имеет окрестность, которая не содержит другую точку.
Пример пространства, которое удовлетворяет аксиоме T1 (и не удовлетворяет ниже следующим аксиомам) приведен в примере 2.2.2.
T1
есть замкнутое множество. T2
щиеся окрестности.
T3 A x Є C(A)
есть непересекающиеся окрестности.
T4
имеют непересекающиеся окрестности.
120
Аксиоме T2 называется аксиомой отделимости Хаусдорфа, а пространства, которые удовлетворяют аксиоме T2, называются хаусдорфовыми пространаствами. Ясно, что метрическое пространство является хау-сдорфовым пространством. Встречающиеся в анализе пространства чаще всего являются хаусдорфовами пространствами.
Пространства, которые удовлетворяют аксиомам T1 и T3, называют регулярными пространствами.
Пространства, которые удовлетворяют аксиомам T1 и T4, называют нормальными пространствами.
Любое нормальное пространство является регулярным пространством, любое регулярное пространство является хаусдорфовым пространством,
X
чае, если в декартовом произведении пространств X х X диагональ:
есть замкнутое множество.
X
та. Пусть x х у Є diay. Тогда x = y, и существуют такие открытые окрестности V(x) и V(у) точек x и у, что
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed