Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арсеньев А.А. -> "Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике" -> 26

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.

Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике — НИЦ.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 505 c.
Скачать (прямая ссылка): lekcpofunkcanalizu2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 110 >> Следующая

Анализ метода Даниэля в теории интеграла есть в [5], стр. 459-461. При обсуждении затронутых нами элементарных вопросов теории интеграла нет принципиальной разницы между методом Даниэля, когда сначала вводится интеграл, а потом мера, и традиционным методом, когда сначала вводится мера, а потом интеграл. Ясно, что задание системы подмножеств множества X эквивалентно заданию характеристических функций этих подмножеств, а задание меры на системе подмножеств эквивалентно заданию элементарного интеграла на множестве характеристических функций.
Понятие интеграла распространяется на функции со значениями в банаховом пространстве.
Пусть Q -компактное топологическое пространство, B -рефлексивное банахово пространство,
-непрерывная функция со значениями в B Если f* Є B*, то функция
x: Q Э ш — x(uS) Є B
Q Э ши
f*(x(U))
Q
97
При фиксированной функции x(u) Є C(Q) отображение
B* э f* — / f*(x(u))?(doj)
есть линейный непрерывный функционал на B*, и в силу рефлексивности B существует такой элемент J(x) Є B, что
Если выполнено соотношение (1.200), то определению полагаем
и называем функционал J(x) интегралом от функции x(u).
Заметим, что иногда интеграл можно определить и как предел интегральных сумм Римана.
При рассмотрении интеграла по бесконечной области мы не вводим условие Стоуна (см. [5]), а опираемся на конструкцию, которая является обобщением понятия кратного несобственного интеграла Римана.
Дальнейшие сведения о теории меры и интеграла можно почерпнуть из следующих работ.
1Эти книги содержат (насколько я могу судить) на сегодняшний день наиболее полное и доступное изложение теории меры и интеграла.
[6] Эта книга почти полвека была настольной книгой всех математиков и по-прежнему является классическим руководством по теории меры.
[7] В этой книге есть изложение теории интеграла и меры по Даниэлю. Наше изложение следует этой книге.
[8] Эта книга содержит краткое и ясное изложение теории меры и интеграла Лебега. В книге показано, как теория меры и интеграла при-меныется в теории функций действительной переменной.
[9] Это классическое руководство по теории меры и интеграла, которое приспособлено для нужд теории вероятности.
[10]Это просто и понятно написанная книга, которая также приспособлена к нуждам теории вероятности. Наше изложение теоремы Радона-Никодима основано на материалах этой книги.
[H]B этой книге содержатся обобщения теории меры, о которых в нашем изложении мы не смогли даже упомянуть, но которые получили в последнее время широкое применение при анализе стохастических динамических систем (теория фрактальных множеств и т.д.)
(1.200)
(1.201)
98
Глава 2
Метрические и топологические пространства.
2.1 Метрические пространства.
2.1.1 Расстояние и связанные с ним понятия.
M
ется определенная на декартовом произведении множеств M х M функция
d: M х M — R1,
которая удовлетворяет условиям: 1, Симметрии:
V(x Є M,y Є M) : d(x,y) = d(y,x). (2.1)
2. Невырожденности:
(d(x,y) = 0) ^ (x = y). (2.2)
3. Неравенству треугольника:
V(x Є M,y Є M , z Є M) : d(x,y) < d(x , z) + d(z,y). (2.3)
x=y
V(x Є M,z Є M): d(x,z) > 0. (2.4)
Определение 2.1.2. Множество вместе с определенным на ним расстоянием (метрикой) называется метрическим пространством.
99
Пример 2,1,1. Евклидово пространство Rd есть метрическое пространство относительно расстояний:
d(x , y) =
\1<7<
1/2
\
|2
xj - y Г) , (2-5)
< <d
d(x , y) = max ix j - y, | , x = (xu ...xd) ,y = (y1,... yd).
1<j<d
Определение 2.1.3. В метрическом пространстве множество
b(x , r) = {y i d(x , y) < r} (2,6)
называется открытым шаром радиуса r с центром в точке x.
Это определение дается по аналогии с (2,5).
Пример 2.1.2. Множество C([a, b]) всех непрерывных на отрезке [a, b] функций есть метрическое пространство относительно расстояний:
d(f , g) = sMif (x) - g(x)i i x є M}, (2.7)
d(f,g)=f if (x) - g(x)i dx. (2.8)
Из неравенства треугольника следует, что
d(x , y) < d(x , xo) + d(xo , y0) + d(yQ , y),
поэтому
d(x , y) - d(xo , yo) < d(x , xo) + d(y , yo). Заменив в этом неравенстве
x — xo , y — yo , xo — x , yo — y,
мы получим неравенство параллелограмма:
id(x, y) - d(xo ,yo)i< d(x,xo) + d(y, yo). (2.9)
Определение 2.1.4. Расстоянием dist(A, B) между множеетвами A и B
dist (A, B) := inf {d(x ,y) i x є A,y є B}. (2.10)
100
Так как
У (а Є A) : dist(x , A) < d(x , a) < d(x , y) + d(y , a),
то
dist(x , A) < d(x , y) + dist(y , A),
поэтому
W(x Є M ,y Є M , A с M) : |dis t(x , A) ^st(y , A)| < d(x , y). (2.11)
Неравенство (2.11) можно рассматривать как обобщение неравенства треугольника.
Пусть (Mi, d\) и (M2 , d2) -два метрических пространства. Взаимно однозначное отображение
J: M1 — M2 , J(M1) = M2
называется метрическим изоморфизмом, если
W(x Є Mi ,y Є Mi) : di(x , y) = d2(J(x) , J(y)).
M1 M2
Mi M2
рически изоморфные пространства обычно отождествляются.
2.1.2 Сходимость в метрическом пространстве.
Определение 2.1.5. Последовательность точек {xn} с M метрического пространства (M , d) сходится к точке xo Є M, если
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed