Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Hm d(xn ,xo) = 0. (2.12)
n—>оо
{ x n}
xo
{xn}
В метрическом пространстве каждая сходящаяся последовательность имеет только один предел, так как если
d(xn , x0) — 0 , d(xn , x'0) — 0 , n — то,
то
d(x0 , x'0) < d(xn , x0) + d(xn , x'0) — 0 , n — то,
поэтому
d(x0 , x'0) = 0 , и x0 = x'0.
101
Определение 2.1.6. Последовательность точек {xn} С M метрического пространства (M , d) удовлетворяет условию Коши (по другой терминологии: является последовательностью Коши или является фундаментальной последовательностью), если
Hm sup{d(xn , xn+m) I m > 0} = 0. (2,13)
n—oo
{ x n} С M
( M , d)
V(n > N(є)): d(xn , xn+m) < d(xn , xo) + d(xn+m , xo) < є.
Однако не во всяком метрическом пространстве любая последовательность Коши сходится, т.е. имеет предел. Примеры метрических пространств, в которых последовательность Коши может не иметь предела: множество рациональных чисел с обычной метрикой, рассмотренное в 2.1.2 пространство непрерывных на отрезке [a , b] функций C([a , b]) в метрике (2.8).
Метрики d и d на метрическом пространстве M эквивалентны, если V ({xn}C M):
(Ilm sup{d(xn , xn+m) I m > 0} = 0) ^ (Ilm sup{d(xn , xn+m) I m > 0} = 0).
n—о n—o
Эквивалентные метрики часто не различают.
Определение 2.1.7. Метрическое пространство называется полным, если в нем любая последовательность Коши (фундаментальная последовательность) имеет предел.
Примеры полных метрических пространств: пространство Rd с обычной метрикой, рассмотренное в 2.1.2 пространство непрерывных на отрезке [a, b] функций C([a, b]) в метрике (2.7).
Определение 2.1.8. Метрическое пространство (M , d) называется по-
(M , d)
l.(M, d) -полное метрическое пространство.
2. Существует изометрическое вложение J пространства M в про-M
J: M — M
метрического пространства (M , d) в метрическое пространство (M , d), которое удовлетворяет условию
V(x,y Є M) : d(x,y) = di(J(x) ,J(y)).
102
J
элемента С Є M существует такая поеледовательность {xn} с M, что
Hm dt(C J(xn)) = 0. (2.14)
n—оо
Теорема 2.1.1. 1. Любое метрическое пространство имеет пополнение.
2. Любые два пополнения данного метрического пространства метрически изоморфны.
M0
M : { xn} Є M0 { xn}
M0
( Hm d(xn , x'n) = 0) <=>¦ ({xn} ~ {x'n}). (2.15)
n—oo
Симметричность соотношения (2.15) очевидна. Из неравенства треугольника следует, что
d(xn , xn) < d(xn , xn) + d(xn , xn) ,
поэтому если
{xn} ~ {x'n} , {xn} ~ {x'n} {x'n} ~ {x'n},
откуда следует транзитивность соотношения (2.15). Поэтому (2.15) дей-
M
всех классов эквивалентности по соотношению (2.15). Класс эквивалент-
{ x n}
лом [xn]. Stot ^^^те эквивалентности есть точка пространства M. Определим в множестве M расстояние d, положив по определению
d([x,n] , [yn]) := Hm d(xn , Уп). (2.16)
n—oo
{ xn} , { yn}
M
ld(xn , Уп) - d(xm , Ут)І < d(xn , xm) + d(yn , Ут).
M
т.е. что правая часть (2.16) зависит только от класса эквивалентности
{ x n}
стояния (2.2). Если
d([xn] , [yn]) = 0,
103
то в силу определений (2,15) и (2,16) это означает, что
{xn} ~ {yn},
поэтому
[xn] = [yn],
Симметрия расстояния (2,16) и неравенство треугольника проверяются тривиально.
Построим отображение
J: M ^ M,
x Є M [x] Є M
который содержит стационарную последовательность {xn I xn = x}. Ясно, что так определенное отображение есть изометрическое вложенение. Покажем, что оно удовлетворяет условию (2,14),
Пусть C = [xn] Є M. Так как {xn} -последовательность Коши в M, то
V (є > 0) , Зп(є) , V(n > п(є)) : sup{d(xn , xn+m) I m > 0} < є.
Ясно, что
d(C , J(x,n(A) = Hm d(xn , xnU)) < є.
n—oo
Теперь докажем, что M-полное пространство. Пусть {Cn} -последовательность Коши в метрике d. Пусть xn -такой элемент пространства M, который удовлетворяет условию
Тогда
d(?n ,J(xn)) < 2-n. (2.17)
d(xn , xn+m) d(J(x'n) , J(xn+m)) — d(?n , J(xn)) + d(?n+m , Cn) + d(?n+m , J(xn+m)%) — 2-n + 2~(n+m) + dt(Cn+m ,Cn).
Следовательно, соотношение (2.17) сопоставляет каждой последовательности Коши {Cn} в пространстве M последовательность Коши {xn} в пространстве M Обозначим символом ?o тот класс эквивалентности, которому принадлежит определяемая по (2.17) последовательность Коши { xn} С M Co Cn
M
104
Воспользовавшись неравенством (2,17) и тем фактом, что последова-{ xn} M
венство
d(Cn , Со) < d(Cn , J(xn)) + d(J(xn), Со) < 2-n + lim d(xn , xm) < 2-n + є,
m—o
если только n > N(є). Итак, элемент C0 есть предел последовательности {Cn} и полнота пространства M доказана.
Теперь докажем единственность пополнения. Пусть (Mi, di) -произвольное пополнение пространства (M , d) и J1 -удовлетворяющее условию (2.14)
Mi M
z Є M1 в пространстве M существует такая последовательность {xn}, что
dl(z , Jl(xn)) — 0 , n — со. (2.18)
{ x n} M
Ji
sup{d(xn , xn+m) І m> 0} = sup{di(Ji(xn), Ji(xn+m) І m> 0}) — 0 , n — со.
Если последовательность {x'n} также удовлетворяет условию (2.18), то
d(x,n , x'n) = di(Ji(xn), Ji(x'n)) — 0 , n — с, (2.19)
поэтому условие (2.18) устанавливает взаимно однозначное соответствие
Mi
(2.15) и тем определяет взаимно однозначное отображение пространства Mi M
