Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
63
Лемма 1.2.8. Если последовательность измеримых функций, {/n(x)} сходится почти всюду к функции /(x), то последовательность {/n(x)} сходится к функции /(x) по мере.
Доказательство.Рассмотрим множество
Aa = П U {x I l/n(x) - /(x)| > а}. (1.136)
m n>m
Если x Є Aa, то в этой точке x последовательность /n(x) не сходится к /(x), поэтому ?(Aa) = 0 и
M IJ {x 1 l/n(x) - / (x)l > а}) — 0 ,m — OO.
Следовательно,
^({x 1 |/n(x) - /(x)| > а}) < ?(\J {x 1 l/n(x) - /(x)l >а}) — 0 , m —
n> m
{ /n( x) }
{ /n( x) }
которая, сходится, почти всюду.
Доказательство. Из условия 1.132 следует, что для любого k > 0 существует такой номер n(k), что мера множества
Ak : (x Є Ak) (sup{l/n(k)(x) - /m(x)l l m > n(k)} > 2-k).
удовлетворяет неравенству
MAk) < 2-k.
Пусть
A = Ak .
Очевидно, что
Vj : MA) < MU Ak) <Y1 ?(Ak) < 21-j - 0 , j -oo,
k> j k> j
поэтому
MA) = 0
64
и
МС(А)) = 1.
Но
С(А) = ОН С(Ак).
j>i k>j
Если x Є С (А), то существует такое j > 1, что x Є П С(Ак), поэтому
k>j
V(k > j , p > 0): |fn(k)(x) — fn(k+p)(x) | < sup{|fn(k)(x) — fm(x)| | m > n(k)} < 2—k,
fn(k)(x)
доказана.
Замечание. Легко заметить, что доказательства двух последних лемм однотипны и основаны на рассмотрении множеств (1.137) и (1.136). В вероятностной интерпретации эти множества представляют некоторые события, которые происходят бесконечное число раз. При определено
алгебры, состоящей из двух множеств: 0 , X, и поэтому их вероятность может быть равна только нулю или единице (это одна из формулировок закона нуля или единицы в теории вероятности). Из двух предыдущих лемм следует
Лемма 1.2.10. Если, последовательность измеримых функций, фундаментальна по мере, то она сходится по мере к измеримой функции.
{ fn( x) }
{ fn( j) }
f(x) f(x)
a>0
/({x | |f (x) — fm(x)| > 2a}) <
/({x | |f (x) — fn(j)(x)| > a}) + /({x | |fn(j)(x) — fm(x)| > a})
Первое слагаемое в правой части этого неравенства может быть сделано сколь угодно малым при j — оо, так как из сходимости почти всюду следует сходимость по мере. Второе слагаемое может быть сделано сколь
m
{ fn( x) }
65
(1.138)
(|f (x)|/a)/(dx) > J (|f (x)|/a) I({x | |f (x)| > a} | x)/(dx) > I({x | |f (x)| > a} | x) /(dx) = /({x | |f (x)| > a}).
{ fn( x) }
ства L(X) к функцпи f (x), если
поэтому из сходимости в L(X) следует сходимость по мере. Собирая доказанные леммы, мы получим
Теорема 1.2.5. Справедливы следующие утверждения.
{ fn( x) }
почти всюду, то она сходится по мере.
2. Если последовательность измеримых функций сходится в мет-L(X)
{ fn( x) }
{ fn( x) }
но по мере.
{ fn( x)}
сходящуюся почти всюду подпоследовательность.
В заключении приведем одну полезную формулу. Пусть -непрерывно дифференцируемая на инервале [0 , оо) неубывающая функция, f (x) -измеримая функция. Тогда справедливо равенство
J Jo dt
Для доказательства этого равенства достаточно проинтегрировать по ме-/( dx)
I Is неравенства (1.138) следует, что
Va > 0 : /({x | |fn(x) — f (x)| > a}) <
(1.139)
66
1.2.5 Функция Кантора.
Приведем во многих отношениях принципиально важный классический пример: функцию Кантора. Эта функция строится на отрезке [0 , 1]. Построение будем вести индуктивно. На нулевом шаге индукции мы определим функцию Кантора Ct (t) на интервал ах t < 0 , t > 1:
Ct(t): Ct(t) = 0 , t < 0 ; Ct(t) = 1 , t > 1.
Далее отметим на отрезке [0 , 1] интервал (1/3 , 2/3) и на этом интервале положим
Ct(t) = (0 + 1)/2 = 1/2 , 1/3 < t < 2/3.
У нас остались два отрезка: [0, 1/3] , [2/3, 1]. На каждом отрезке мы отметим среднюю треть: интервалы (1/9 , 2/9) , (7/9 , 8/9) и на отмеченных интервалах положим
Ct(t) = (0 + 1/2)/2 = 1/4, 1/9 < t < 2/9, Ct(t) = (1/2 + 1)/2 = 3/4 , 7/9 < t < 8/9.
Предположим, что мы сделали n шагов построения. На шаге n + 1 мы
0
ся отрезке будем отмечать лежащий посередине отрезка интервал, длина которого равна одной трети длинны отезка, и на отмеченном интервале
( t)
ет на ближайших слева и справа отмеченных ранее интервалах. Так мы
1
0
такого процесса интервалов называется отрытым множеством Кантора
G =(1/3 , 2/3)|J(1/9 , 2/9)|J(7/9 , 8/9)... Дополнение множества G
P =[0 , 1] \ G
называется замкнутым множеством Кантора (или еще совершенным множеством Кантора). Так как на каждом шаге построения суммарная дли-
2/3
того множества Кантора равна нулю, поэтому мера Лебега открытого множества Кантора равна единице. По построению функция Кантора постоянна на каждой связанной компоненте открытого множества Кан-GG
Ct(ti) < Сt(t2) , ti < t2 , ti , t2 є G,
67
причем все числа вида m2n, 0 < m < 2n , n Є Z+ принадлежат множеству значений функции Кантора Ct (t) на множеетве G.
Доопределим функцию Кантора на всех точках отрезка [0 , 1] равенствами
(t)
резке [0 , 1] и Ct(I) = !Докажем, что Ct (t) непрерывна на отрезке [0 , 1]. В силу монотонности функции Ct (t) в каждой точке to Є [0 , 1] должны существовать пределы слева и справа. Предположим, что Ct (t0 + 0) > Ct (t0 - 0). Тогда интервал (Ct (t0 - 0) ,С t(t0 + 0)) не может содержать
(t) (t)
тиворечит тому, что все числа вида m2-n, 0 < m < 2n , n Є Z+ принад-
