Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
( t) ( t)
[0 , 1] (0) = 0 , (1) = 1
(t)
G
G
G
G
[0 , 1]
ну.но. Это может противоречить наивным предположениям о том, что с непрерывной функцией на множестве меры ноль ничего произойти не может. В данном случае на множестве меры ноль непрерывная функция возрастает от нуля до единицы.
В наших построениях мы фактически нигде не использовали то обстоятельство, что отмечается именно треть отрезка. К тем же выводам можно было бы прийти, если бы на каждом шаге отмечать, например, открытый интервал длины 4/5 ми 1/5 отмечаемого отрезка. Классическая конструкция удобна тем, что она позволяет просто доказать, что замкнутое множество P имеет мощность континуума. Действительно, из построения следует, что множеству P принадлежат те и только те числа д, которые имеют вид
-произвольная последовательность из нулей и двоек. Но все такие числа
Ct(0) = 0 ,С t(t) = sup Ct(r), т Є G, 0 < t < 1.
(1.140)
т <t
68
находятся во взаимно однозначном соответствии с числами вида r 2"n_1a(n) , где a(n) = 0 , 1,
1<га<оо
(0 , 1]
Таким образом замкнутое множество Кантора (или, как его еще называют, совершенное множество Кантора) есть пример множества, которое имеет меру ноль и мощность континуума.
В некотором смысле противоположный пример можно получить, если рассмотреть множество
A =[0 , 1] \ U (xn - 4"гае, xn + 4-пє),
1<га<оо
где Jxn} -последовательность всех рациональных точек отрезка [0, 1]. Множество A замкнуто и имеет меру, болыне чем 1 — є, но не содержит ни одного открытого интервала.
1.2.6 Теорема Фубини.
Пусть K1 , K2 -компактные топологические пространства, K = K1 х K2 -декартово произведение пространств K1 , K2. Точки пространства K = K1 х K2 мы будем обозначать символами (x , y) = x х y , x є K1 , y є K2. Пусть C(K) -множество всех непрерывных функций на пространстве K. Возьмем пространство всех непрерывных на компакте K функций C(K) в качестве пространства элементарных функций и пусть
/0 : C(K) ь R1
-элементарный интеграл на L0 (K) = C(K). Напомним, что элементарный интеграл необходимо удовлетворяет условию
V(/ є C(K)) : |/о(/)| < /o(1)sup{|/(x, y)| | (x, y) є K}. (1.141)
Предположим, что элементарный интеграл J0 удовлетворяет условию:
V(/(x , y) = 0(x)^(y)) : 1о(/) = /0,1(^)/0,2(VO, (1-142)
где /0д , /^2 -линейные функционалы на C(K1) , C(K2) соответственно.
K1 = K2 = [0 , 1] .
/0 : f (x , y) ь / f (x , y) dxdy 00
69
удовлетворяют условию (1.142), а функционал
0
не удовлетворяет условию (1.142).
Из того факта, что элементарный интеграл I0 удовлетворяет условиям 1.1.5-1.1.7 на пространстве C(K) следует, что функциопалы I0;1 , І0;2 в (1.142) удовлетворяют условиям 1.1.5-1.1.7 на пространствах C(K1) , C(K2) и поэтому могут рассматриваться как элементарные интегралы на этих пространствах.
Элементарные интегралы I0 , I0;1 , /,,.2 по схеме Даниэля порождают L(K) , L(K1) , L(K2) соответствуют меры
//(dxdy) , //(dx, •) , //(•,dy).
Мы будем говорить, что эти меры порожден н ы элементарными интегралами І0 , І0,1 , І0,2-
Определение 1.2.15. Мера //(dxdy) на компакте K = K1 х K2 называется произведением мер //(dx, •) и //(•, dy):
//(dxdy) = //(dx , •) х //(•, dy),
если порождающие их элементарные интегралы связаны соотношением (1.142).
Следующее утверждение называется теоремой Фубини.
Теорема 1.2.6. Пусть выполнены, все сделанные выше предположения и /(x, у) Є L(K). Тогда,
1. Почти всюду по мере //(•, dy) функция
принадлежит пространству L(K1).
,2. Почти всюду по мере //(dx, •) функция
K2 э у — f у) L(K2)
70
3. Функции
K1 э X — j /(х, y)?(-, dy),
K2 э y — j / (x, y)?(dx, ¦)
принадлежат пространствам L(K\) , L(K2) соответственно. 4- Справедливо равенство
J / (х , y)?(dxdy) = j j / (x,y) ?( , dy^j ?(dx , ^, (1.143)
K
в правой, части, равенства, внутренний, интеграл, берется по компакту K2, а внешний по ком пакту K1.
Доказательство. Ясно, что теорему достаточно доказать для /(x , y) Є L+(K). В дальнейшем мы будем рассматривать пространство C(K) как банахово пространство с нормой
II/II = sup{|/(x,y)|| (x,y) Є K}.
В этом пространстве алгебра функций вида
/(x,y)= фз(x)ijj(y) (1.144)
1<j<n
C(K)
ции вида (1.144) формула (1.143) верна в силу предположения (1.142). Следовательно, в силу непрерывности функционалов I0 , I011 , I0 >2 формула (1.143) верна для любой непрерывной функции / Є C(K). Пусть теперь / Є L+(K) и /n Є C(K) такая последовательность, что /n(x , y) У /(x , y), n — оо. Тогда
Vn: J /n(x , y)?(dxdy) = \ ( / /n(x,y)\i( , dy ) ?(dx , ¦). (1.145) Последовательность
(Pn(x) = I /n(x , y) ?( , dy)
состоит из непрерывных функций, она монотонно не убывает и интегралы от нее ограничены в совокупности. Следовательно, в силу теоремы Benno Леви почти всюду по мере ?(dx, ¦) существует предел
ф^) = lim f/n(x,y) [!(¦ ,dy), (1.146)
71
причем
(f)(x)/i(dx , •) = lim / fn(x , y) /(dxdy) = / f (x , y) /(dxdy). (1.147)
n—°oJ J
При тех значениях x Є K1, при которых существует предел в (1.146), последовательность интегралов
fn(x, y) ?(- , dy),
x
