Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
dco1 (г, Tj) = 0 Vtj.
Действительно, dco1 (г, Tj) = (г, г, T)) = 0.
Замечание. Переход от 2-формы со2 = dco1 f к полю ротора г — не инвариантная операция:
Рис. 181. ось, она зависит от евклидовой структуры R3. 8^нмсН2Т4орХ' Однако направление *) ротора г инвариантно в нечетномерном связано с 2-формой со2 (и, значит, с 1-формой пространстве ^ Действительно, легко проверить, что если гфО, то направление г определяется условием {со2 (г, Tj)= 0 Vtj} однозначно.
Алгебраической основой многомерной леммы Стокса является существование оси у всякого вращения нечетномерного пространства.
Лемма. Пусть со2 — алгебраическая внешняя 2-форма в нечетномерном линейном пространстве R2n+1. Тогда существует вектор I Ф 0 такой, что
со2 (1,T1) = 0 VTj€ER2n+1.
Доказательство. Кососимметрическая форма со2 задается кососимметрической матрицей А
со2(|, Xi) = (Al, T1)
нечетного порядка 2п + 1. Определитель такой матрицы равен нулю, так как
А' = —A, det A = det A' = det (—А) = (—l)2«+i det А =
= —det А.
Итак, определитель А равен нулю. Значит А имеет собственный вектор І Ф 0 с собственным значением 0, что и требовалось доказать.
Вектор \, для которого со2 (І, Tj) = 0 при всех TJ, называется нулевым вектором формы со2. Очевидно, все нулевые векторы со2 образуют линейное подпространство. Форма называется неособой, если размерность этого пространства —¦ минимальная возможная (т. е. 1 в нечетномерном пространстве R2n+1, 0 в четномерном).
Задача. Рассмотрим в четномерном пространстве R2n с координатами Pi, • ¦ ; Pn, ft, • - •, 9п 2-форму со2 = dpt Д dft + .. . + dpn Д dqn. Докажите, что форма со2 неособа.
*) То есть неориентированная прямая с направляющим вектором г в TR%.
§ 44. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ ПУАНКАРЕ—KAPTAHA 207
З а д а ч а. Рассмотрим в нечетномерном пространстве R2"+1 с коорди ватами P1, . . ., pn; qlt . . ., qn; t 2-форму со2 = 2гірг Д Uq1 — со1 Д dt, где со1— любая 1-форма в R2"+1. Докажите, что форма со2 неособа.
Если со2 — неособая форма в нечетномерном пространстве R2n+1, то все нулевые векторы ? формы со2 лежат на одной прямой. Эта прямая инвариантно связана с формой со2.
Пусть теперь M2n+1 — нечетномерное дифференцируемое многообразие, со1 — 1-форма на М. По предыдущей лемме в каждой точке X G= M имеется направление (т. е. прямая {с|} в касательном пространстве TMx), обладающее тем свойством, что интеграл со1 по краю «бесконечно малой площадки, содержащей это направление», равен нулю:
ааЩ,г\) = 0 Vrj G=TMx.
Пусть далее 2-форма da1 неособа. Тогда направление | определено однозначно. Мы назовем его «направлением ротора» формы со1.
Интегральные кривые поля направлений ротора называются линиями ротора (или характеристиками) формы со1.
Пусть Y1 — замкнутая кривая на М. Линии ротора, выходящие из точек Y1, образуют «трубку ротора». Справедлива
Многомерная лемма Стокса:
Интеграл 1-формы со1 по любой из двух кривых, охватывающих
одну и ту же трубку ротора, одинаков: (J) со1 = (J) со1, если
Yi Y^
Y1 — Тг = до, где о — кусок трубки ротора. Доказательство. По формуле Стокса
(j) to1 — (J) со1 = (J) со1 = J da1.
Y. Y2 da а
Но значение da1 на любой паре векторов, касательных к трубке ротора, равно нулю. (Действительно, эти два вектора лежат в 2-плоскости, проходящей через направление ротора, а на этой плоскости da1 обращается в 0.)
Итак, J da1 = 0, что и доказывает лемму.
а
В. Канонические уравнения Гамильтона. Из леммы Стокса непосредственно вытекают все основные положения гамильтоно-вой механики.
Рассмотрим в качестве М2П-1 «расширенное фазовое пространство R2n+1» с координатами ри . . ., рп; qlt . . ., qn; t. Пусть дана функция H = H (р, q, t). Тогда можно составить *) 1-форму
со1 = pdq — Hdt {pdq = P1Uq1 + . . . + pndqn). Применим к со1 лемму Стокса (рис. 182).
*) Форма со1 кажется взятой с потолка. Мы увидим в следующих параграфах, как идея рассмотреть эту форму возникла из оптики.
208
ГЛ. 9. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ
Теорема. Линии ротора формы со1 = р dq — H dt в 2п + -J- 1-мерном расширенном фазовом пространстве р, q, t однозначно проектируются на ось t, т. е. задаются функциями р = р (t),
Я — Q (')• Эти функции удовлетворяют системе канонических дифференциальных уравнений с функцией Гамильтона Н:
(1)
dp _ _ 0Н_ dg _ Oil dt dq ' dt ~~ dp "
^ Иными словами, линии ротора формы pdq — H dt суть траектории фазового потока в расширенном фазовом пространстве, т. е. интегральные кривые канонических уравнений (1). Доказательство. Дифференциал формы р dq — H dt
Рис. 182. Гамипьтоново поле и линии ротора формы pdq — Hdt
равен
п
do* = JTJ [dpi АФії—щ-dPi A^--~dQi Д dt) .
Из этого выражения видно, что матрица 2-формы dio1 в координатах р, q, t имеет вид (проверьте!)
О E
¦ И
— Е 0
— ij
о
где E-
1
Hp =
SH
др
Hn
дН dq
Ранг этой матрицы равен 2п (левый верхний 2п-угол невырожден). Поэтому 2-форма dto1 неособа. Непосредственно проверяется, что вектор (—Hg, Hp, 1) — собственный вектор матрицы А с собственным значением 0 (проверьте!). Значит, он задает направление линий ротора формы pdq — Hdt. Но вектор (—H9, H1,, 1) есть как раз вектор скорости фазового потока (1). Итак, интегральные кривые (1) суть линии ротора формы р dq — Hdt, что и требовалось доказать.
