Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
натные функции в некоторой карте v------'i f'""' zmi
расширенного фазового пространства (рассматриваемого как многообразие М2п+1, рис. 184). Координаты (р, q, t) можно рассматривать как задающие другую карту М. Форму Рис" ^LSS'r.SSSS™ * со1 = р dq — Hdt можно рассматривать как дифференциальную 1-форму на М. С этой формой инвариантным (не зависящим от карт) образом связано семейство линий на M — линий ротора. На карте (р, q, t) эти линии изображаются траекториями фазового потока
dp dH dq dH
(1)
dt dq ' dt dp
с функцией Гамильтона H (р, q, t).
Пусть форма со1 в координатах (xt, . . ., x2n+i) записывается в виде
р dq — Hdt = X1(Ix1 + . - . + -Хгп+і^гп+і-
Теорема. На карте (хі) траектории (1) изображаются линиями ротора форми HXiOIx1.
Доказательство. Линии ротора форм JlXtdxf и pdq — — H dt суть изображения на двух разных картах линий ротора одной и той же формы на М. Но интегральные кривые (1) суть линии ротора pdq — Hdt. Значит, их образы на карте (х{) суть линии ротора формы HXidxt, что и требовалось доказать.
Следствие. Пусть (P1, . . ., Pn; Q1, . . ., Qn; T) — локальная система координат в расширенном фазовом пространстве (Pi q, t) и К (Р, Q, Т), S (JP, Q, T) — такие функции, что
pdq — Hdt = Г» dQ — KdT + dS
(левая и правая части суть формы на расширенном фазовом пространстве)*.
212
ГЛ. 9. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ
Тогда траектории фазового потока (1) изображаются на карте {Р, Q, T) интегральными кривыми канонических уравнений dP дК dQ дК
dT dQ » dT дР
(2)
Доказательство. По предыдущей теореме траектории {1) изображаются линиями ротора формы PdQ — KdT + dS. Но dS на линии ротора не влияет (так как ddS == 0). Поэтому изображения траекторий (1) суть линии ротора формы PdQ — KdT. Согласно § 44, В, линии ротора такой формы суть интегральные кривые канонических уравнений (2), что и требовалось доказать.
В частности, пусть g: R2" ->- R2" — каноническое преобразование фазового пространства, переводящее точку с координатами {р, q) в точку с координатами (Р, Q).
Функции P (р, q), Q (р, q) можно рассматривать как новые координаты в фазовом пространстве.
Теорема. В новых координатах (Р, Q) канонические уравнения (1) имеют канонический вид *)
dP _ дК dQ __ дК_ .„
at ~ dQ ' dt ~~ дР ' '
функцией Гамильтона: К (Р, Q, t) = H (р, q, t).
Доказательство. Рассмотрим 1-форму pdq — PdQ в R2". Для любой замкнутой кривой у имеем (рис. 185)
фpdq — PdQ = фрdq — ф PdQ = 0
У У У
Pu Vt
Рис. 185. замкну- ввиду каноничности g. Поэтому \ р dq —
тость формы во
pdq — PdQ — р__ g не зависит от ПуТИ интегрирования, но зависит лишь от конечной точки (P1, ^1) (при фиксированной начальной точке (р0, q0)). Итак, dS = = pdq — PdQ. Следовательно, в расширенном фазовом пространстве
pdq — Hdt = PdQ — Hdt + dS,
и применима предыдущая теорема. При этом (2) превращается в (3), что и требовалось доказать.
Задача. Пусть g (t): R2" —» R2n — каноническое преобразование фазового пространства, зависящее от параметра g(t)(p, q) = (P(p, q, t), Q (P» *))• Докажите, что канонические уравнения (1) в переменных Р, Q,
*) В некоторых учебниках свойство сохранять канонический вид уравнений Гамильтона принято за определение канонических преобразований. В действительности это определение не эквивалентно общепринятому и приведенному выше. Например, не каноническое в нашем смысле преобразование P = 2р, Q = q сохраняет гамильтонов вид уравнений движения.
( 45. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ИНВАРИАНТЕ 213
t имеют канонический вид с новой функцией Гамильтона К (P, Q, t), где К (Р, dS/дР, t) = dSldt + H (dSldq, q, t), р = dSldq, Q = dSldP, S = S (P, q, t).
Б. Понижение порядка с помощью интеграла энергии. Пусть теперь функция Гамильтона H (р, q) не зависит от времени. Тогда канонические уравнения (1) имеют первый интеграл: H (р (t), q (t)) = const. Оказывается, с помощью этого интеграла можно понизить размерность пространства (2п + 1) на две единицы, сведя задачу к интегрированию некоторой системы канонических уравнений в 2п — 1-мерном пространстве.
Предположим, что (в некоторой области) уравнение h = = H Qp1, . . ., рп; qn) можно разрешить относительно P1:
P1 = К (J>, Q, Т; К),
где P = (р2, . . ., рп); Q = (?, . . ., qn); T = -?. Тогда находим
pdq — Hdt = JPdQ — KdT — d (Ht) + tdH.
Пусть теперь у — интегральная кривая канонических уравнений (1), лежащая на 2п-мерной поверхности H (р, q) = h в R2n+1. Тогда у есть линия ротора формы pdq — Hdt (рис. 186). Спроектируем расширенное фазовое пространство Д2п+і _ на фазОВОе пространство
R2n = {(р, q)}. Поверхность H = h спроек-тируется в 2п — 1-мерное подмногообразие M2n_1: H (р, q) = h в R2", а кривая у — в кривую у, лежащую на этом подмногообразии. Величины JP, Q, T образуют локальные
Координаты B Af2"-1. Рис. 186. Понижение по-
_ рядка гамильтоновой си-
Задача. Докажите, что кривая у является стемы
