Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 71

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 195 >> Следующая


Таким образом, гамильтоновы поля образуют идеал в алгебре Ли локально гамилътоновых полей.

§ 41. Симплектическая геометрия

Евклидова структура в линейном пространстве задается симметрической билинейной формой, а симплектическая — кососимметрической. Геометрия симплектического пространства освежающе непохожа на евклидову,, хотя и имеет много сходных черт.

А. Симплектическое линейное пространство. Пусть R2" — чет-номерное линейное пространство.

Определение. Симплектической линейной структурой в R2n называется невырожденная **) билинейная кососимметри-ческая 2-форма, заданная в R2". Эта форма называется кососка-лярным произведением и обозначается [|, r\] = — [п, |1.

Пространство R2n вместе с симплектической структурой 1,1 называется симплектическим линейным пространством.

*) А не с точностью до постоянной.

**) 2-форма [ , ] в R2™ невырождена, если ([|, ц] = 0 Vr\) -ф (| = 0).

-192

ГЛ. 8. СИМШІЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

Пример. Пусть (рг, . . ., рп; qlt . . ., qn) — координатные 'функции в R2", и со2 — форма

«>2 = Pi А Яі + • ¦ • + Pn A Qn-

Поскольку эта форма невырождена и кососимметрична, ее можно принять за кососкалярное произведение: [g, ц] = со2 (5, т\). Таким образом, координатное пространство R2" = {(р, q)} получает симплектическую структуру. Эта структура называется стандартной. В стандартной симплектической структуре кососкалярное произведение двух векторов I, т| равно сумме ориентированных площадей проекций параллелограмма (|, г\) на п координатных плоскостей (pi, qt).

Два вектора і, і] в симплектическом пространстве называются косоертогональными (g -t- п), если их кососкалярное произведение равно нулю.

Задача. Докажите, что \ —і- %: каждый вектор себе косоортогонален.

Множество всех векторов, косоортогональных данному вектору Ij1 называется косоортогоналъным дополнением к г\.

Задача. Докажите, что косоортогональное дополнение к q есть ~2п — 1-мерная гиперплоскость, содержащая г\.

Указание. Если бы все векторы были косоортогональны т), то форма Г,] была бы вырожденной.

Б. Симплектический базис. Евклидова структура при подходящем выборе базиса (он должен быть ортонормирован) задается скалярным произведением специального стандартного вида. Точно так же и симплектическая структура принимает стандартный вид, указанный выше, в надлежащем базисе.

Задача. Найти кососкалярные произведения базисных векторов е_ , -е_ (і = 1, п) в приведенном выше примере.

чі

Решение. Из определения Pi Д gx-f-... + PnЛ In следуют соотношения

[ер.,ер.] = [ер.,е5Л = [е?.,е5.1 = 0, [ePi.e5j] = l. (1)

Вернемся теперь к общему симплектическому пространству.

Определение. Симплектическим базисом называются 2п векторов ePi, eg. (і = 1, . . ., п), кососкалярные произведения которых имеют вид (1).

Иными словами, каждый базисный вектор косоортогонален всем базисным векторам, кроме одного, с ним сопряженного; а произведение сопряженных векторов равно +1.

Теорема. В каждом симплектическом пространстве существует симплектический базис. Более того, за первый вектор базиса можно взять любой ненулевой вектор е.

Эта теорема вполне аналогична соответствующей теореме евклидовой геометрии и доказывается почти так же.

S 41. СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

193

Поскольку вектор е не нулевой, существует ему не косоорто-гональный вектор / (форма [,] невырождена). Выбрав длину этого вектора, можно добиться того, что его кососкалярное произведение с е станет равным единице. В случае п = 1 теорема доказана.

Если же п ^>1, рассмотрим косоортогональное дополнение D (рис. 174) к паре векторов в, /. D есть пересечение косоортогональ-ных дополнений к е и /. Эти два In — 1-мерные подпространства не совпадают, так как е не лежит в косоортого-нальном дополнении к /, поэтому их пересечение D имеет четную размерность 2п — 2.

Покажем, что D есть симплектическое подпространство в R2n, т. е. что кососкалярное произведение [,] на D невырождено. Действительно, если бы вектор І ЄЕ Z? был косоортогонален всему

пространству D, ТО, будучи КОСООрТОГОНалеН ортогональное до-„ vre полнение

также к е и к /, этот вектор ? был бы косо-ортогонален R2™, что противоречит невырожденности [,] на R2'\ Итак, Z?2"-2 — симплектическое.

Теперь, если добавить к симплектическому базису в Z?2"-2 векторы ей/, мы получим симплектический базис в R2n, и доказательство теоремы завершается индукцией по размерности п.

Следствие. Все симплектические пространства одинаковой размерности изоморфны.

Если принять векторы симплектического базиса за координатные орты, то мы получим систему координат Pi, qt, в которой [,] принимает стандартный вид P1 Д qx + . • • + Pn Л Qn- Такая система координат называется симплектической.

В. Симплектическая группа. С евклидовой структурой связана ортогональная группа линейных отображений, сохраняющих евклидову структуру. В симплектическом пространстве аналогичную роль играет симплектическая группа.

Определение. Линейное преобразование S : R2n —*¦ R2n симплектического пространства R2n в себя называется симплекти-ческим, если оно сохраняет кососкалярное произведение:
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed