Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Теорема. Каково бы ни было потенциальное силовое поле, существует по крайней мере одно периодическое движение тела. Более того, существуют такие периодические движения, для которых постоянная энергии h сколь угодно велика.
§ 46. Принцип Гюйгенса
Основные понятия гамильтоновой механики (импульсы р, функция Гамильтона Н, форма р dq — Hdt, уравнение Гамильтона — Якоби, о котором будет идти речь ниже) возникли при перенесении на общие вариационные принципы (и, в частности, на принцип стационарного действия Гамильтона, 6 ^ L dt = 0) некоторых весьма простых и естественных понятий геометрической оптики, управляемой частным вариационным принципом — принципом Ферма.
А. Волновые фронты. Рассмотрим коротко *) основные понятия геометрической оптики. Согласно экстремальному принципу Ферма, свет распространяется из точки q0 в точку Q1 за кратчайшее время. При этом скорость света может зависеть как от точки q («неоднородная среда»), так и от направления луча («неизотропная среда» — например, кристаллы).
Свойства среды можно описать, задав в касательном пространстве в каждой точке q поверхность («индикатрису»). Для этого отложим по каждому направлению вектор скорости распространения Света в данной точке по данному направлению (рис. 192).
*) Мы не будем здесь гнаться за строгостью и будем считать, что все определители отличны от нуля, и т. п. От полуэвристических рассуждений этого пункта доказательства дальнейших теорем не зависят.
§ 46 ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА
219
Рис. 192. Неизотропная неоднородная среда
Пусть теперь t ^> 0. Рассмотрим множество всех точек q, до которых свет из данной точки q0 может дойти за время, меньшее или равное t. Граница этого множества, Фд„ (t), называется волновым фронтом точки q0 через время t и состоит из точек, до которых свет может дойти за время t и не может дойти быстрее.
Между волновыми фронтами, соответствующими разным значениям t, имеется замечательное соотношение, открытое Гюйгенсом (рис. 193).
Теорема Гюйгенса. Рассмотрим волновой фронт точки q0 через время t, Фд„ (t). Построим для каждой точки q этого фронта волновой фронт через время s, Фд (s). Тогда волновой фронт точки q0 через время s + t, Ф«о (s + будет огибать построенные фронты Фд (s), q E= Фд„ (t).
В самом деле, пусть qt+s E= Фв„ (t + s). Тогда существует путь из q0 в qt+s, по которому время распространения света равно t + s, и нет более короткого. Рассмотрим точку qt на этом пути, до которой свет идет время t. Никакого более короткого пути от q0 до qt не может быть, иначе путь Q0Qt+s не был бы кратчайшим. Поэтому точка qt лежит на фронте Фд„ (t). Точно так же путь qtqt+s свет проходит за время s, и из точки qt в qt+s нет более короткого пути. Поэтому точка qt+s лежит на фронте точки qt за время s, Фд( (s).
Покажем, что фронты ФЯ{ (s) V3""-^ и Фд„ (t + s) в точке qt+s ка-
саются. Действительно, если (і) ФдкЖ Ч "\ /Л ^ы они пеРесекались (рис. 194),
Фа (t+s)
4O
Рис. 193. Огибающая волновых фронтов
Рис. 194. Доказательство теоремы Гюйгенса
то в некоторые точки Фдо (t + s) можно было бы добраться из qt за время, меньшее s, а значит, из q0 — за время, меньшее s+t. Это противоречит определению Фд„ (t + s); итак, фронты Фв4 (s) и Фд„ (t + s) касаются в точке qt+3, что и требовалось доказать.
Доказанная теорема называется принципом Гюйгенса. Разумеется, точку q0 можно было бы заменить кривой, поверхностью или вообще замкнутым множеством, трехмерное пространство
220
ГЛ. 9. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ
{<?} — любым гладким многообразием, а распространение света — распространением любого возмущения, передающегося «локально».
Принцип Гюйгенса приводит к двум описаниям процесса распространения. Во-первых, мы можем следить за лучами, т. е. кратчайшими путями распространения света. В этом случае локальный характер распространения задается вектором скорости q. Если направление луча известно, то величина вектора скорости задается свойствами среды (индикатрисой).
С другой стороны, мы можем следить за волновым фронтом.
Предположим, что в пространстве {q} задана риманова метрика. Тогда можно говорить о скорости движения волнового фронта. Рассмотрим, например, распространение света в среде, заполняющей обычное евклидово пространство. Тогда движение волнового фронта можно характеризовать перпендикулярным фронту вектором р, который строится следующим образом.
Для каждой точки q0 определим функцию Sq<: (q) как оптическую длину пути от q0 до q, т. е. наименьшее время распространения света от q0 до q.
Множество уровня {q: Sq„ (q) = t} есть не что иное, как волновой фронт Фд<1 (t) (рис. 195). Градиент функции S (в смысле
Рис. 195. Направление луча и Рис. 196. Сопряженная ги-
ваправление движения фронта перплоскость
упомянутой выше метрики) перпендикулярен волновому фронту и характеризует движение волнового фронта. При этом, чем больше градиент, тем медленнее движется фронт. Поэтому Гамильтон назвал вектор
dS
вектором нормальной медлительности фронта.
