Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
[55,5ni = [g,;4i Vi,:4eR2n.
Множество всех симплектических преобразований R2n называется симплектической группой и обозначается Sp(2n).
Что произведение двух симплектических преобразований симплектическое — очевидно. Чтобы оправдать термин симплектическая группа, нужно только доказать, что симплектическое преобразование невырождено, тогда ясно, что обратное также симплек-тично.
Задача. Докажите, что группа Sp(2) изоморфна группе вещественных матриц второго порядка с определителем 1 и гомеоморфна трехмерной внутренности баранки.
194
ГЛ. 8. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Теорема. Преобразование S: R2n -»- R2n стандартного сим-плектического пространства (р, q) симплектическое тогда и только тогда, когда оно линейное и каноническое, т'. е. сохраняет дифференциальную 1-форму
«>2 = dPi Л &Ь. + • • • + Фп Л dqn-
Доказательство. При естественном отождествлении касательного пространства к R2" и R2™ 2-форма to2 переходит в [,].
Следствие. Определитель любого симплектического преобразования равен единице.
Доказательство. Мы уже знаем (§ 38, Б), что канонические преобразования сохраняют внешние степени формы со2. Но ее п-я внешняя степень есть (с точностью до постоянного множителя) элемент объема в R2". Значит, симплектические преобразования S стандартного R2" = {(р, q)} сохраняют элемент объема, так что det 5 = 1.
Но поскольку всякая симплектическая линейная структура записывается в стандартном виде в симплектической системе координат, определитель симплектического преобразования любого симплектического пространства равен единице, ч.т.д.
Теорема. Линейное преобразование 5: R2'1 -»- R2™ симплек-тично тогда и только тогда, когда оно переводит некоторый (и тогда любой) симплектический базис в симплектический.
Доказательство. Кососкалярное произведение любых двух линейных комбинаций базисных векторов выражается через кососкалярные произведения базисных векторов. Если преобразование не меняет кососкалярные произведения базисных векторов, то оно не меняет и кососкалярные произведения любых векторов, ч.т.д.
Г. Плоскости в симплектической пространстве. В евклидовом пространстве все плоскости равноправны: каждую из них можно перевести в любую другую движением.
Рассмотрим с этом точки зрения линейное симплектическое пространство.
Задача. Докажите, что ненулевой вектор симплектического пространства можно перевести в любой другой ненулевой вектор симплектический преобразованием.
Задача. Докажите, что не всякую двумерную плоскость симплектического пространства R2n, п > 1, можно получить из данной 2-плоскости симплектический преобразованием.
Указание. Рассмотрите плоскости (рг, р2) и (plf gj.
Определение. Jfc-мерная плоскость симплектического пространства называется нулевой *), если она себе косоортогональна,
*) Нулевые плоскости называют также изотропными, а при k = п — лагранжсвыми.
§ 41. СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
195
т. е. кососкалярное произведение любых двух векторов плоскости равно нулю.
Пример. Координатная плоскость (plt . . ., рь) в симплектической системе координат р, q нулевая (докажите!)
Задача. Докажите, что любую ненулевую двумерную плоскость можно перевести в любую другую ненулевую симплектическим преобразованием.
При вычислениях в симплектической геометрии бывает полезно ввести в симплектическом пространстве еще какую-нибудь евклидову структуру. Мы зафиксируем симплектическую систему координат р, q и введем евклидову структуру с помощью координатного скалярного произведения.
(X1 X) = S Pi + Qu где X = S РіЄРі + Яі%.
Симплектический базис ер, ед в этой евклидовой структуре ортонормирован. Кососкалярное произведение, как всякая билинейная форма, выражается через скалярное в виде
[1,t1] = (/s,il) (2.
где: /: R2n R2n — некоторый оператор. Из кососимметричности кососкалярного произведения следует, что оператор / кососим-метричен.
Задача. Сосчитать матрицу оператора / в симплектическом базисе
/0 —Е\
Ответ. I о ) 'Где ^ — единичная матрица порядка п.
Таким образом, при п = 1 (на плоскости р, q) I есть просто поворот на 90°, а в общем случае / есть поворот на 90° в каждой из п плоскостей pi, qt.
Задача. Доказать, что оператор I симплектический и что P = —E2n.
Хотя евклидова структура и оператор / связаны с симплектическим пространством неинвариантно, они часто бывают удобны. Из (2) непосредственно вытекает
Теорема. Плоскость я симплектического пространства нулевая тогда и только тогда, когда плоскость In ортогональна я.
Заметим, что размерности плоскостей я и In совпадают, так как / невырожден. Отсюда
Следствие. Размерность нулевой плоскости в R2n не превосходит п.
Действительно, две Анмерные плоскости п и In в R2" не могут быть ортогональными, если к^> п.
Рассмотрим несколько подробнее и-мерные нулевые плоскости в координатном симплектическом пространстве R2a. Примером такой плоскости служит координатная /^-плоскость. Всего п-мерных координатных плоскостей в R2" = {(р, q)} имеется С\\.
196
