Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Направление луча q и направление движения фронта р в неизотропной среде не совпадают. Однако они связаны друг с другом простым соотношением, легко выводящимся из принципа Гюйгенса. Напомню, что свойства среды в каждой точке характеризуются поверхностью векторов скорости света — индикатрисой.
§ 46. ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА
Определение. Направление гиперплоскости, касающейся индикатрисы в точке v, называется сопряженным к направлению V (рис. 196).
Теорема. Направление волнового фронта Фд„ (t) в точке gt сопряжено направлению луча, д.
Доказательство. Рассмотрим (рис. 197) точки д% луча g^gtx 0 <^ т t. Пусть 8 очень мало. Тогда фронт ФЯ(_е (є) отличается от индикатрисы точки gt, умноженной на 8, лишь малыми порядка О (г2). По
%(t)
Индикатриса, точки ^
Направление луча
^Направление движения Фронта
Фронт Фв (t) "о
Рис. 197. Сопряженность направлений луча и фронта
принципу Гюйгенса, этот фронт Ф«4_е (8) касается фронта Фд, (і) в точке gt. Переходя к пределу при є 0, получаем сформулированную теорему.
При изменении вспомогательной метрики, с помощью которой мы определили вектор р, будет меняться понятие скорости движения фронта, а значит, и величина и направление вектора р.
Однако дифференциальная форма р dg — dS на пространстве {q} = R3 определена не зависящим от вспомогательной метрики образом; ее значение зависит лишь от выбранного фронта (или луча). На гиперплоскости, сопряженной вектору скорости луча, эта форма равна 0, а ее значение на векторе скорости равно 1 *).
Б. Оптико-механическая аналогия. Вернемся теперь к механике. Здесь траектории движения также являются экстремалями вариационного принципа, и можно строить механику как геометрическую оптику многомерного пространства. Именно так и поступил Гамильтон; мы не будем проводить это построение во всех деталях, а только перечислим те оптические понятия, которые привели Гамильтона к основным механическим понятиям.
Оптика Оптическая среда
Принцип Ферма Лучи
Индикатриса
Нормальная медлительность фронта р
Выражение р через скорость луча q 1-форма р dq
Механика Расширенное конфигурационное-пространство {(qt)), Принцип Гамильтона 6 J L dt = О Траектории q (t) Лагранжиан L Импульс р
Преобразование Лежандра 1-форма pdq — Hdt
*) Таким образом, векторы р, соответствующие всевозможным фронтам, проходящим через данную точку, не произвольны, но подчинены одному условию: допустимые значения р заполняют в пространстве {р} гиперповерхность, двойственную индикатрисе скоростей
222
ГЛ. 9. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ
Неиспользованными остались оптическая длина пути SQo (q) и принцип Гюйгенса. Их механические аналоги — функция действия и уравнение Гамильтона — Якоби, к которым мы теперь и перейдем.
В. Действие как функция координат и времени.
Определение. Функцией действия S (q, t) называется интеграл
Sa„tAQ,t) =]bdt у
вдоль экстремали у, соединяющей точки (q0, t0) и (q, t),
Чтобы это определение было корректным, нужно принять некоторые предосторожности: нужно потребовать, чтобы экстремали, выходящие из точки (q0, t0), более не пересекались, а образовывали так называемое «центральное поле экстремалей» (рис. 198). Точнее, сопоставим каждой паре (q0, t) точку (q, t) — конец экстремали с начальными условиями q (0) = q0, q (0) = q0. Говорят, что экстремаль у включена в центральное поле, если отображение (q0, t) и-»- (q, t) невырождено (в точке, соответствующей рассматриваемой экстремали у и, следовательно, в некоторой ее окрестности).
Можно доказать, что при достаточно малом t — f0 I экстремаль у включается в центральное поле *).
Рис. 198. Централь- т-. „ „
вое поле экстремалей Рассмотрим теперь достаточно малую окрестность конечной точки (q, t) нашей экстремали. Каждая точка этой окрестности соединена с (q0, t0) единственной экстремалью рассматриваемого центрального поля. Эта экстремаль дифференцируемо зависит от конечной точки (q, і). Поэтому в указанной окрестности корректно определена функция действия
В геометрической оптике мы рассматривали дифференциал оптической длины пути. Естественно и здесь рассмотреть дифференциал функции действия.
Теорема. Дифференциал функции действия (при фиксированной начальной точке) равен
dS = pdq — H dt,
где р = dLldq и H = pq — L определяются по конечной скорости q траектории у.
*) Задача. Покажите, что при больших t — t0 это уже не так. Указание, q = —q (рис. 199).
§ 46. ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА
223
Доказательство. Поднимем каждую экстремаль и8 (q, ^-пространства в расширенное фазовое пространство {(р, q, і)}, нолагая р = dLldq, т. е. заменяя экстремаль фазовой траекторией. Мы получим тогда в расширенном фазовом пространстве п + 1-мерное многообразие, составленное из фазовых траекторий, т. е. линий ротора формы р dq — H dt. Дадим теперь конечной точке (q, t) приращение (Aq, At) и рассмотрим семейство экстремалей, соединяющих (q0, t0) с точками отрезка q + QAq, t + QAt, 0 < Є < 1 (рис. 200). В фазовом пространстве мы получим составленный из линий ротора формы pdq — И dt четырехугольник а, граница которого
