Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
(ISi, ATj) = (1%, rj) Vg, г,,
или еще
(6'LS?, T1) = (/!,,,) VI, г,,
что и требовалось доказать.
Б. Симметрия спектра симплектического преобразования.
Теорема. Характеристический полином симплектического преобразования
р (К) = det I S — KE I
возвратный *), т. е. р (К) = Я2пр (1/Я).
Доказательство. Мы будем пользоваться тем, что det S = det 1 = 1, P = —Е и det А' = det Л. По предыдущей теореме S = —IS''1!. Поэтому
р (X) = det (S — Я?) = det (— IS'-Ч - Я?) = det (— S"1 + KE) = = det (— E + XA) = Я2П oetfS — ^-E} = К2Пр ,
что и требовалось доказать.
Сл едствие. Если К — собственное число симплектического преобразования, то ПК — также собственное число.
С другой стороны, характеристический полином веществен; поэтому, если К — комплексное собственное число, то К — собственное число, притом не совпадающее с Я.
Отсюда вытекает, что все корни К характеристического полинома лежат симметрично относительно вещественной оси и относительно единичной окружности (рис. 176). Они разбиваются на четверки
и пары, лежащие на вещественной оси:
я = я, -Jr = •Y
Рис. 176. Расположение собственных чисел симплектического преобразования
*) Возвратным называется полином о0жт -f- а^"1-1 -f-, метричными коэффициентами: а0 = ат, % = ат_х, . . .
• + ат с сим-
§ 42. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС
199
или на единичной окружности:
К-т, А._-г.
Нетрудно сообразить, что кратности всех четырех точек четверки (или обеих точек пары) одинаковы. В. Устойчивость.
Определение. Преобразование S называется устойчивым, если
Ve > 0 36 > 0: I ас |< 6 =Н SNx |< є, VJV > 0.
Задача. Докажите, что если хотя бы одно из собственных чисел симплектического преобразования S лежит не на единичной окружности, то S неустойчиво.
Указание. Ввиду доказанной симметрии, если хоть одно из собственных чисел лежит не на единичной окружности, существует собственное число вне единичного круга | к | > 1; в соответствующем инвариантном подпространстве iS — «растяжение с поворотом».
Задача. Докажите, что если все собственные числа линейного преобразования различны и лежат на единичной окружности, то преобразование устойчиво.
Указание. Перейти к собственному базису.
Определение. Симплектическое преобразование S называется сильно устойчивым, если всякое достаточно близкое к нему *) симплектическое преобразование S1 устойчиво.
В § 25 мы установили, что S: R2-»- R2 сильно устойчиво, если
Kt = e±ta> К ФК
Теорема. Если все 2п собственных числа симплектического преобразования S различны и лежат на единичной окружности, то преобразование S сильно устойчиво.
Доказательство. Заключим 2п собственных чисел Я в 2п непересекающихся окрестностей, симметричных относительно единичной окружности и вещественной оси (рис. 177). 2п корней характеристического полинома зависят от элементов матрицы S непрерывно. Следовательно, если матрица S1 достаточно близка к S, то в каждой из 2п окрестностей 2п точек А лежит ровно одно собственное число A1 матрицы S1. Но если бы какая-либо из точек K1 не лежала на единичной окружности, а, например, вне, то по теореме стр. 198 в той же окрестности лежала бы еще одна точка A2, I A2 I <. 1, и общее число корней было бы больше 2п, что невозможно.
Итак, все корни S1 лежат на единичной окружности и различны: значит, S1 устойчиво, что и требовалось доказать.
Можно сказать, что собственное число симплектического преобразования А может покинуть единичную окружность, лишь
*) S1 «достаточно близко» к S, если элементы матрицы S1 в фиксированном базисе отличаются от элементов матрицы S в том же базисе меньше чем на достаточно малое число е.
200
ГЛ 8. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
столкнувшись с другим собственным числом (рис. 178); при этом одновременно сталкиваются комплексно-сопряженные числа, и из двух пар корней на окружности получается одна четверка (или пара вещественных Я).
Из результатов § 25 следует, что условия возникновения параметрического резонанса в линейной канонической системе с периодически меняющейся функцией Гамильтона состоят как раз в том, что соответствующее симплектическое преобразование фазового пространства перестает быть устойчивым. Из доказанной
Рис. 177. Поведение про- Рис. 178. Поведение крат-
стых собственных чисел ных собственных чисел при
при малом изменении малом изменении симплек-
симплектического пре- тического преобразования образования
теоремы видно, что это может случиться лишь при столкновении собственных чисел на единичной окружности. В действительности, как заметил М. Г. Крейн, не всякое такое столкновение опасно.
Оказывается, собственные числа Я, | % | = 1, делятся на два класса: положительные и отрицательные. При столкновении двух корней одинакового знака корни «проходят друг сквозь друга» и не могут сойти с единичной окружности. Напротив, два корня разных знаков при столкновении, вообще говоря, покидают единичную окружность.
Теория М. Г. Крейна выходит за рамки этой книги, но здесь будут сформулированы основные результаты в виде задач.
