Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Задача. Пусть X, X — простые (кратности 1) собственные числа сим-плектического преобразования S и | X | = 1. Докажите, что соответствующая А., X двумерная инвариантная плоскость п ненулевая.
Указание. Пусть I1, I2 — комплексные собственные векторы S с собственными значениями X1, X2. Тогда, если X1X2 =/= 1, векторы I11 |а косо-ортогональны: H1, I2] = 0.
Пусть I — вещественный вектор из плоскости я^, Im X > О, | X | = 1. Собственное число X называется] положительным, если [S|, Ц >¦ 0.
Задача. Докажите, что это определение корректно, т. е. не зависит от выбора вектора | =(= 0 в плоскости п^.
Указание. Если бы плоскость содержала два косортотональных неко л линеарных вектора, она была бы нулевой.
Точно так же fc-кратное собственное число X, | X | = 1, знакоопределен-ное, если квадратичная форма [S|, |] знакоопределена на соответствующем Я, X инвариантном 2&-мерном подпространстве.
§ 43. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЙ АТЛАС
201
Задача. Докажите, что для сильной устойчивости S необходимо в достаточно, чтобы все собственные числа X лежали на единичной окружности и были знакоопределенными.
Указание. Квадратичная форма |] инвариантна относительно S.
§ 43. Симплектический атлас
В этом параграфе доказывается теорема Дарбу, согласно которой каждое симплектическое многообразие имеет локальные координаты р, д, в которых симплектическая структура записывается простейшим образом: со2 = = dp A dq.
А. Симплектические координаты. Напомню, что в определении многообразия участвует условие совместности карт атласа. Это условие на отображения фї^фу перехода с одной карты на другую. Отображения фї*фу — это отображения областей координатного пространства.
Определение. Атлас многообразия М2п называется симп-лектическим, если в координатном пространстве R2n = {(р, q)} введена стандартная симплектическая структура со2 = dp Д dqt и переход с одной карты на другую осуществляется каноническим (т. е. сохраняющим со2) преобразованием *) фТ^.
Задача. Покажите, что симплектический атлас определяет симплек-тическую структуру на М2п.
Справедливо также и обратное предложение: каждое симплектическое многообразие имеет симплектический атлас. Это вытекает из следующей теоремы.
Б. Теорема Дарбу.
Теорема. Пусть со2 — невырожденная замкнутая дифференциальная 2-форма в окрестности точки ж пространства R2n. Тогда в некоторой окрестности точки ж можно выбрать такую систему локальных координат (plt . . ., рп; qu . . ., qn), что форма примет стандартный вид
п
со2 = 21 dpi Д dqi.
Эта теорема позволяет немедленно распространить на все симплектические многообразия любое утверждение локального характера, инвариантное относительно канонических преобразований и доказанное для стандартного фазового пространства (R2n, со2 = dp Д dq).
*) Аналогично определяются, например, комплексно-аналитические многообразия: в координатном пространстве должна быть комплексная структура, а переход с одной карты на другую должен быть комплексно-аналитическим.
202
ГЛ. 8. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
В. Построение координат P1 и Q1. В качестве первой координаты P1 возьмем линейную непостоянную функцию (можно было бы взять любую дифференцируемую функцию, дифференциал которой отличен от нуля в точке х). Будем для простоты считать, что jp1 (х) = 0.
Обозначим через P1 = IcIp1 гамильтоново поле, соответствующее функции P1 (рис. 179). Заметим, что P1 (х) Ф 0. Поэтому через точку X можно провести гиперплоскость iV2n_1, не содержащую вектор P1 (х) (вместо N2n~1 можно было бы взять любую поверхность, трансверсальную P1 (х)).
Рассмотрим гамильтонов поток Р[ с функцией Гамильтона P1. Рассмотрим время t, нужное, чтобы дойти от N до точки » = Р\у (у (ЕЕ ЄЕ N) под действием потока Р[, как функцию точки ». По обычным теоремам теории обыкновенных дифференциальных уравнений эта функция определена и дифференцируема в окрестности точки X Є= R2rl. Обозначим ее через qt. Заметим, что ^1 = 0 на N и что производная функции ^1 по направлению поля P1 равна 1. Итак, скобка Пуассона построенных функций qt и P1 равна 1:
(?. Pi) = 1-
Рис. 179. Построение симплектических координат
Г. Построение симплектических координат индукцией по п. Если п = 1, то построение закончено. Пусть п > 1. Мы будем предполагать, что теорема Дарбу для R2"-2 уЖе доказана.
Рассмотрим множество M1 заданное уравнениями P1 = qx = 0. Дифференциалы Up1 и CIq1 в точке х линейно независимы, так как к»2 (/ dpi, I Uq1) = (qt, P1) =s 1. Итак, по теореме о неявной функции в окрестности точки х множество M является многообразием размерности 2п — 2; мы будем обозначать его М2п~2.
Лемма. Симплектическая структура со2 е R2™ задает в некоторой окрестности точки х на M2*1-2 симплектическую структуру.
Доказательство. Нуждается в доказательстве лишь невырожденность со2 на TMx. Рассмотрим линейное симплекти-ческое пространство TR2J1. Векторы P1 (ас), O1 (х) гамильтоновых полей с функциями Гамильтона P1 и ^1 принадлежат JRfJ1. Пусть 1 Є TMx. Производные ^1 и q1 по направлению Ъ\ равны нулю. Значит, dPl (I) = to2 (|, P1) = 0, Oq1 (?) = со2 (|, Q1) = 0. Итак, TMx есть косоортогональное дополнение к P1 (х), Q1 (х). Согласно § 41, Б форма со2 на TMx невырождена. Лемма доказана.
