Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 81

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 195 >> Следующая

получаем кривую у: q = у (т), р = »

= dLldq на поверхности M2"^1. Применяя предыдущую теорему

к кривым у на А/2™-1, получаем

Следствие. Cpedu всех кривых q = у (т), соеЬЧшяющих две точки q0 и qx на плоскости q и параметризованных так, что функция Гамильтона имеет фиксированное значение

216

ГЛ. 9. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ

H (dLldq,q) = h, траекторией уравнений динамики (1) является экстремаль интеграла «укороченного действия»

^P dq = J pq dx = [-j^ty Я (x) dr.

YYY

Это и есть принцип наименьшего действия Мопертюи (Эйлера— Лагранжа — Якоби) *). Важно отметить, что отрезок о <^ т <^ Ъ, параметризующий кривую у, не фиксирован и может быть разным у сравниваемых кривых. Зато одинаковой должна быть энергия (функция Гамильтона). Заметим также, что принцип определяет форму траектории, но не время: для определения времени нужно воспользоваться постоянной энергии.

Особенно простую форму доказанный принцип принимает в случае, когда система представляет движение по инерции по гладкому многообразию.

Теорема. Материальная точка, вынужденная оставаться на гладком римановом многообразии, движется по геодезической

линии (т. е. по экстремали длины J ds).

Доказательство. Действительно, в нашем случае

H = L=T

1 / ds \2 dL . 0„ / dS \2

Следовательно, чтобы обеспечить фиксированное значение H = h, параметр т надо выбирать пропорциональным длине: dx = » Интеграл укороченного действия тогда равен

^-Щ-qdx = ^f2hds = yW^ds,

Y Y

поэтому экстремали суть геодезические нашего многообразия, что и требовалось доказать.

В случае, когда имеется также потенциальная энергия, траектории уравнений динамики тоже являются геодезическими некоторой римановой метрики.

Пусть ds2 — риманова метрика на конфигурационном пространстве, задающая кинетическую энергию ^так что T = — (j^-J^ •

Пусть h — постоянная.

Теорема. Зададим в области конфигурационного пространства, где U (q) < h, риманову метрику формулой

dp = Yh — U (q) ds.

*) «Почти во всех учебниках, даже в лучших, этот принцип представлен так, что его нельзя понять». (Я к о б и К. Лекции по динамике, 1842—1843.— M.; Л.: ОНТИ, 1936). Не решаюсь нарушать традицию.

S 45. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ИНВАРИАНТЕ 217

Тогда траектории системы с кинетической энергией 1 I-Jj-] >

потенциальной энергией U (q) и полной энергией h будут геодезическими линиями метрики dp.

Доказательство. Действительно, в нашем случае

L = T-U1H= T + U,~ q = 2Г = (-§-)2 = 2 (A- U). Следовательно, чтобы обеспечить фиксированное значение H = h, параметр т надо выбрать пропорциональным длине: dx — Интеграл укороченного действия тогда будет равен ^qdx = ^Y2(h-U)ds= \f2^dp.

ds

1/2 (Л —СО

По принципу Мопертюи траектории суть геодезические метрики dp, что и требовалось доказать.

Замечание 1. Метрика dp получается из ds «растяжением», зависящим от точки q, но не зависящим от направления. Поэтому углы в метрике ф совпадают с углами в метрике ds. На границе области U ^ h метрика dp имеет особенность: чем ближе мы подходим к границе, тем меньше становится р — длина. В частности, длина любой кривой, лежащей на самой границе (U = h)t равна нулю.

Замечание 2. Если начальная и конечная точки геодезической у достаточно близки, то экстремум длины есть минимум. Это оправдывает название «принцип наименьшего действия». Что в общем случае экстремум действия не обязательно минимум, видно из рассмотрения геодезических на единичной сфере

Рис. 190. Неминимальная геодезическая

Рис. 191. Периодическое движение двойного маятника

(рис. 190). Каждая дуга меридиана является геодезической, но минимальны лишь те из них, которые короче п: дуга NS'M короче дуги меридиана NSM.

Замечание 3. Если h больше максимума U на конфигурационном пространстве, то метрика ф не имеет особенностей. Поэтому мы можем применить топологические теоремы о геодезических на римановых многообразиях к изучению механических задач.

218

ГЛ. 9. КАНОНИЧЕСКИЙ ФО РМАЛИЗМ

Так, например, рассмотрим тор T2 с некоторой римановой метрикой. Среди всех замкнутых кривых на T2, делающих т оборотов по параллели и п по меридиану, существует кривая кратчайшей длины (рис. 191). Эта кривая — замкнутая геодезическая (доказательство см. в книгах по вариационному исчислению в целом или «теории Морса»).

С другой стороны, тор T2 является конфигурационным пространством плоского двойного маятника. Отсюда вытекает

Теорема. Для любых целых т, п существует периодическое движение двойного маятника, при котором одно звено делает т оборотов за время, за которое второе звено делает п оборотов.

Более того, такие периодические движения существуют при любом достаточно большом значении постоянной энергии h (h должно быть больше потенциальной энергии в верхнем положении).

В качестве еще одного примера рассмотрим твердое тело, закрепленное в неподвижной точке и находящееся в произвольном потенциальном поле. Конфигурационное пространство (SO(3)) не односвязно: на нем существуют нестягиваемые кривые. Из предыдущих рассуждений вытекает
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed