Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 73

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 195 >> Следующая


ГЛ. 8. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

Задача. Доказать, что среди C^1 n-мерных координатных плоскостей нулевых ровно 2n. А именно, каждому из 2П разбиений множества (1, . . ., п) на две части (?,.. ., i*) O1. • • •, Jn-It) соответствует нулевая координатная

плоскость Ps , . . ., Ps , ?,- , . . ., Qt

і к '\ Jn-ic

При изучении производящих функций канонических преобразований нам потребуется

Теорема. Всякая n-мерная нулевая плоскость п в симплек-тическом координатном пространстве R2" трансверсалъна *) хотя бы одной из 2" координатных нулевых плоскостей.

Доказательство. Пусть P — нулевая плоскость P1, . . ., рп (рис. 175). Рассмотрим пересечение

Рис. 175. По- _ п р

строение коорди- 1 — Jl I I * •

натной плоеко-

сатаной^даганой Пусть размерность т равна к, 0 <1 к <^ п. Как плоскости я всякое /j-мерное подпространство n-мерного пространства Р, плоскость т трансверсалъна хотя бы одной п — А;-мерной координатной плоскости в Р, скажем плоскости

»I = {Pi1, • - Pin^ Т-г-Г| = ,Р, X Г\ц = 0.

Построим нулевую n-мерную координатную плоскость

О" = (Pw ¦ • •» Pin-H' Vh ¦ • • •» Л = °" П -Р.

и докажем, что наша плоскость л трансверсалъна а:

л П о = 0.

Действительно, имеем

T (Z Л, Л_4_Л=фТ_і-Л, I

=-.(4 +T1)^ (я С)о)=$Р-и.(п По).

Но P — n-мерная нулевая плоскость. Поэтому всякий вектор, косоортогональный Р, принадлежит P (см. следствие выше).

Итак, (п С] a) CL Р. Окончательно,

л п о = (л п P) П (о П P) = т П л = о,

что и требовалось доказать.

Задача. Пусть я1л п2 — две ft-мерные плоскости в симплектической R27*. Всегда ли можно перевести H1 в It2 симплектическим преобразованием? Сколько существует классов плоскостей, не переводимых друг в друга? Г ft T Г 2n—ft I

Ответ, -«р -Mi если ft < n; —g- + *> если ft >

*) Два подпространства L1 и L2 линейного пространства L трансверсаль-ны, если L1 + L2 = L. Две n-мерные плоскости в R2n трансверсальны тогда и только тогда, когда они пересекаются лишь в точке О.

§ 42. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС

197

Д. Симплектическая структура и комплексная структура. Поскольку Iй = —Е, мы можем ввести в наше пространство R2™ наряду с симплектической структурой {,] и евклидовой структурой (,) еще и комплексную структуру, определяя умножение на і = = Y—1 как действие I. Пространство R2n отождествляется при этом с комплексным пространством С" (если угодно, координатным пространством с координатами zk = рк +

Линейные преобразования R2n, сохраняющие евклидову структуру, образуют ортогональную группу 0(2п), сохраняющие комплексную структуру — комплексную линейную группу GL(n, С).

Задача. Докажите, что ортогональные и одновременно симплектичес-кие преобразования комплексны, комплексные и ортогональные симплектичны, а симплектические и комплексные ортогональны, так что пересечения двух из трех групп равны пересечению всех трех:

0(2п) П Sp(2n) = Sp(2n) П GL(n, С) = GL(n, С) fl 0(2n). Это пересечение называется унитарной группой U(n).

Унитарные преобразования сохраняют эрмитово скалярное произведение (?, Tj) + і [|, Tj]; скалярное и кососкалярное произведения в R2n — это его вещественная и мнимая части.

§ 42. Параметрический резонанс в системах со многими степенями свободы

При исследовании колебательных систем с периодически меняющимися параметрами (см. § 25) мы выяснили, что параметрический резонанс зависит от поведения собственных чисел некоторого линейного преобразования («ото-ображения за период»). Зависимость состоит в том, что положения равновесия системы с периодически меняющимися параметрами устойчиво, если собственные числа отображения за период по модулю меньше единицы, и неустойчиво, если хотя бы одно из собственных чисел по модулю больше единицы.

Отображение за период, полученное из системы уравнений Гамильтона с периодическими коэффициентами, является симплектическим. Исследование параметрического резонанса в системах с одной степенью свободы, проведенное в § 25, опиралось на анализ поведения собственных чисел сим-лектических преобразований плоскости.

В настоящем параграфе проведен аналогичный анализ поведения собственных чисел линейных симплектических преобразований фазового пространства любого числа измерений. Результаты этого анализа (принадлежащего М. Г. Крейну) применяются при исследовании условий возникновения параметрического резонанса в механических системах со многими степенями свободы.

А. Симплектические матрицы. Рассмотрим линейное преобразование симплектического пространства S: R2n -> R2n. Пусть Pi» • • ч Рп7 ?i> • • ч ?п — симплектическая система координат. В этой системе координат преобразование задается матрицей S.

Теорема. Чтобы преобразование было симплектическим, необходимо и достаточно, чтобы его матрица S в симплектиче-

198

ГЛ. 8. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

ской системе координат (р, q) удовлетворяла соотношению

S'IS = I,

где I = ^ , « S' — матрица, транспонированная к S.

Доказательство. Условие симплектичности ([S!, St)] = = И. 4] для всех !, т|) с помощью оператора / записывается через скалярное произведение в виде
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed