Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
§ 43. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЙ АТЛАС
203
По предположению индукции на симплектическом многообразии (M2"-2, со2 |м) в окрестности точки ж существуют симплек-тические координаты. Обозначим их pt, qt (і = 2, . . ., п). Продолжим функции pz, ¦ ¦ ., qn на окрестность точки ж в R2n следующим образом. Каждую точку s окрестности точки ж в R2" можно единственным образом представить в виде » = P[Q[W, где го Єї ЄЕ М2и~2, a s и t — малые числа. Значения координат рг, . . ., qn в точке » положим равными их значениям в точке го (рис. 179).
Построенные 2п функций P1, . . ., рп; qt, . . ., qn образуют в окрестности точки X в R2" локальную координатную систему.
Д. Доказательство симплектичности построенных координат. Обозначим через Р\, Qt (i = 1, . . ., п) гамильтоновы потоки с функциями Гамильтона pt, qt, а через P1, Q1 — соответствующие векторные поля. Сосчитаем скобки Пуассона функций рг, . . . . . ., qn. Мы уже видели в пункте В, что (?, P1) = 1. Следовательно, потоки Р[ и Ql коммутируют: P1Qx = Cx^i-
Вспоминая определение функций рг, . . ., qn, видим, что каждая из них инвариантна относительно потоков P1 и Ql- Итак, скобки Пуассона P1 и qt со всеми 2п — 2 функциями pt, qt (і ^> 1) равны нулю.
Отображение P1Ql коммутирует поэтому со всеми 2п — 2
потоками РІ, Qt (і ^> 1). Следовательно, оно оставляет на месте каждое из 2п — 2 векторных полей P1, Q1 (і > 1). Отображение
P1Ql сохраняет симплектическую структуру со2, так как потоки P1 и Q\ гамильтоновы. Поэтому значения в точках » = P[QiIv с= R2" и w ЄЕ M2"-2 формы со2 на векторах любых двух из 2п — 2 полей Qi (і¦ ^> 1) одинаковы. Но эти значения равны значениям скобок Пуассона соответствующих функций Гамильтона. Итак, значения скобки Пуассона любых двух из 2п — 2 координат pt, qt (і ^> 1) в точках » и го одинаковы, если z = P[Qlw.
Функции P1 и cj1 являются первыми интегралами каждого из 2п — 2 потоков Р\, Ql (і ^> 1). Поэтому каждое из 2п — 2 полей Pi, Qi (і ^> 1) касается многообразия уровня P1 = qt = 0. Но это многообразие есть M2™-2. Поэтому каждое и8 2п — 2 полей Pt, Qi (i ]> 1) касается M2™-2. Следовательно, эти поля являются гамильтоновыми полями на симплектическом многообразии (М2П~2, со2 |м), и соответствующие функции Гамильтона равны Pi \м, qt \м (і ^> 1). Итак, скобка Пуассона во всем пространстве (R2n, со2) любых двух из 2п — 2 координат pt, qt (і ^> 1), рассматриваемая на M2"-2, совпадает со скобкой Пуассона этих координат в симплектическом пространстве (М2п_2, со2 |м)-
Но по предположению индукции координаты на M2™-2 (pt \м, Qi \м', і ^> 1) симплектические. Поэтому во всем пространстве R2n
204 ГЛ. 8. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
скобки Пуассона построенных координат имеют стандартные значения
(Pi, Pj) = (Рі, Qj) = (Qi> Qj) = 0, (qt, Pt) = 1. Такой же вид имеют скобки Пуассона координат р, q в R2", если
<о2 — 5Jdpj Д dqt. Но билинейная форма со2 определяется своими значениями на парах базисных векторов. Следовательно, скобки Пуассона координатных функций определяют вид о2 однозначно. Итак4
со2 = Up1 Д dqt + . . . + dpn Д dqn. Теорема Дарбу доказана.
ГЛАВА 9
КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ
В этой главе преобладает координатная точка зрения. Развитый Гамильтоном и Якоби аппарат производящих функций канонических преобразований является самым мощным из имеющихся методов интегрирования дифференциальных уравнений динамики. Кроме этого аппарата, глава содержит «нечетномерный» подход к гамильтоновым фазовым потокам.
Эта глава независима от предыдущей. Она содержит новые доказательства ряда результатов главы 8, а также объяснение происхождения теории симплектических многообразий.
§ 44. Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана
В этом параграфе рассматривается геометрия 1-формы в нечетномерном пространстве.
А. Гидродинамическая лемма.'Пусты; — векторное поле в трехмерном ориентированном евклидовом пространстве R3, г = rot v— поле его ротора. Интегральные кривые г называются линиями ротора или вихревыми линиями. Пусть Y1 — замкнутая кривая в R3 (рис. 180). Линии ротора, проходящие через точки Y1, образуют трубку ротора.
Пусть y2 — другая кривая, охватывающая ту же трубку ротора, так что Yi — Тг = да, где о — 2-цепь, представляющая часть трубки ротора. Справедлива
Лемма Стоке а. Циркуляция поля v по обеим кривым Yi и Y2 одинакова:
Ф V dl = ф V dl. Рис. 180. Трубка
j j ротора
Yi Y*
Доказательство. По формуле Стокса J vdl— J vdl =
Yi Y«
= J J rot V dn = 0, так как rot v касается трубки ротора, ч. т. д.
а
Б. Многомерная лемма Стокса. Оказывается, лемма Стокса допускает обобщение на случай любого нечетномерного многообразия М2п+1 (вместо R3). Чтобы сформулировать это обобщение, перейдем от векторных полей к дифференциальным формам.
206
ГЛ. 9. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ
Циркуляция поля V есть интеграл 1-формы со1 (со1 (I) = (v, І)). Ротору поля V соответствует 2-форма со2 = dco1 (dco1 (E, tj) = = (»*> 1> ч))- Из этой формулы видно, что в каждой точке существует направление (а именно, направление ротора т, рис. 181), обладающее тем свойством, что циркуляция v по краю всякой «бесконечно малой площадки», содержащей г, равна нулю:
