Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
линией ротора формы р dq = PdQ — К dT на M2™-1.
Указание, d (Ht) не влияет на линии ротора, a dH на M есть нуль.
Но линии ротора формы JPdQ — К dT удовлетворяют уравнениям Гамильтона (2). Итак, доказана
Теорема. Фазовые траектории уравнений (1) на поверхности M2"-1, H = h, удовлетворяют каноническим уравнениям
Ap1 дК <*5і дК
dql dqt Uq1 дрі
(І = 2, . . ., П),
где функция К (р2, . . ., рп; q2, . . ., qn; Т, h) определяется из уравнения H (К, р2, . . ., рп; —Т, q2, . . ., qn) = h.
В. Принцип наименьшего действия в фазовом пространстве. Рассмотрим в расширенном фазовом пространстве {(р, q, t)} интегральную кривую у канонических уравнений (1), соединяющую точки (р0, q0, t0) и Cp1, qlt J1)».
214
ГЛ. 9. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ
Теорема. Интеграл J р dq — H dt имеет у экстремалью относительно вариаций у, при которых концы кривой остаются на n-мерных подпространствах (t = t0, q = q0) и (t = tt, q ~ qx).
Доказательство. Кривая у — линия ротора формы р dq — H dt (рис. 187). Поэтому интеграл р dq — H dt по «бесконечно малому параллелограмму, проходящему через направление ротора», равен нулю.
Г
Иными словами, приращение ^
у
H dt есть малая высшего
\pdq-
Рис. 187. Принцип наименьшего действия в фазовом пространстве
порядка по
сравнению с отличием кривых у' и у, что и требовалось доказать.
Если это рассуждение покажется недостаточно строгим, его можно заменить выкладкой:
є 5 (?»- я» а - 5 («6j>+№ - -?- 6P - Ц- 6«) <»=
'-*ч+и(*~?)в*-(*+тг>]л
Мы видим, что интегральные кривые уравнений Гамильтона — единственные экстремали интеграла Ipdq — H dt в классе кривых у, концы которых лежат на n-мерных подпространствах (t =
= *о. Q = Qo) и (t = J1, q = Qi) расширенного фазового пространства. Теорема доказана.
Замечание. Принцип наименьшего действия в форме Гамильтона есть частный случай рассмотренного выше принципа. Действительно, вдоль экстремали имеем
«і. «і <« 'і
j pdq — H dt= ^ (pq — H) dt = ^ L dt
'и во 'о 'о
Рис. 188. Кривые сравнения для принципов наименьшего действия в конфигурационном и фазовом пространствах
(ибо лагранжиан L и гамильтониан H — преобразования Лежандра друг друга). Далее, пусть у (рис. 188) есть проекция экстремали у на плоскость q, t. Любой близкой кривой у', соединяющей те же точки (t0, q0) (?, qt) на плоскости q, t, сопоставим кривую у'вфазовом(р, q, ^-пространстве, полагая р = dLldq.
Тогда вдоль у' также ^ р dq — Hdt = J L dt. Но по доказанной теореме Г
? \ P dq — Hdt = 0 для любых вариаций кривой у (при граничных условиях у
(' = 'о> Q — Ia) и (' — hi Я — C1))- В частности, это верно для вариаций специального вида, переводящих у в у*. Значит, у есть экстремаль \ L dt, что и требовалось доказать.
( 45. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ИНВАРИАНТЕ 215
В доказанной теореме к сравнению с у допускается значительно более широкий класс кривых у', чем в принципе Гамильтона: на связь р с д не накладывается никаких ограничений. Может показаться удивительным, что оба принципа, тем не менее, эквивалентны: из экстремальности в более узком классе вариаций (р = = dLldq) следует экстремальность при любых вариациях. Объяснение состоит в том, что при фиксированном q величина р = dLldq экстремизирует pq — H (см. определение преобразования Лежандра, § 14, стр. 61).
Г. Принцип наименьшего действия в форме Мопертюи— Эйлера—Лагранжа—Якоби. Пусть теперь функция Гамильтона H (р, q) не зависит от времени. Тогда H (р, q) есть первый интеграл уравнений Гамильтона (1). Спроектируем поверхность И (р, q) = h из расширенного фазового пространства {(р, q, І)} в пространство {(р, q)}. Получится 2п — 1-мерная поверхность H (Р, q) = h в R2n, которую мы уже рассматривали в пункте Б и которую мы обозначили M2"1"1.
Фазовые траектории канонических уравнений (1), начинающиеся на поверхности M2"-1, целиком лежат на поверхности Мгп~1. Они являются линиями ротора формы pdq = IPdQ — КdT (в обозначениях пункта Б) на М2п~г. Согласно теореме пункта В, кривые (1) на M211'1 — экстремали вариационного принципа, соответствующего этой форме. Итак, доказана
Теорема. Если функция Гамильтона H = H (р, q) не зависит от времени, то фазовые траектории канонических уравнений (1), лежащие на поверхности М2п~г: H (р, q) = h, являются экстремалями интеграла j pdq в классе кривых, лежащих на М2П~Х и соединяющих nodnpocmpoHcmea q = q0 и q = qx.
Рассмотрим теперь проекцию экстремали, лежащей на поверхности М2п~1ш. H (р, q) = h, на g-пространство. Эта кривая соединяет точки q0 и Q1.
Пусть, далее, у — другая кривая, соединяющая точки q0 и q1 (рис. 189). Эта кривая у является проекцией некоторой кривой у на поверхности M271'1. А именно, выберем на у параметр т, a ^ т <^ Ь, У (a) = Qo, T (b) = Qi- Тогда в каждой точке q кривой у определен вектор ско-
рости q = -?Z-y (т), и соответствующий импульс р = dLldq. Если параметр т
Подобран так, ЧТО H (р, q) = h, ТО МЫ Рис. 189. Принцип Мопертюи