Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Г. Теорема об интегральном инварианте Пуанкаре — Картана.
Применим теперь лемму Стокса. Получается фундаментальная Теорема. Пусть две замкнутые кривые уг, у2 охватывают одну и ту же трубку фазовых траекторий (1). Тогда интегралы формы pdq — H dt по ним одинаковы:
§ Pdq — Hdt = (j) pdq — Hdt.
•Vi •Vs
Форма pdq — Hdt называется интегральным инвариантом Пуанкаре — Картана *).
*) В вариационном исчислении ным интегралом Гильберта.
J P ^q — H dt называется инвариант-
S 44. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ ПУАНКАРЕ—KAPTAHA
209"
Доказательство. Фазовые траектории суть линии» ротора формы pdq — Hdt, а интегралы по охватывающим одну трубку ротора замкнутым кривым одинаковы по лемме Стокса, ч. т. д.
Рассмотрим, в частности, кривые, составленные из одновременных состояний, т. е. лежащие в плоскостях t = const (рис. 183). Вдоль таких кривых dt = 0, и §р dq —H dt = §pdq. Из предыдущей теоремы получается важное
Следствие 1. Фазовый поток сохраняет интеграл формы pdq = P^g1 -f-+ . . • + PrAqn по замкнутым кривым.
Действительно, пусть g?: R2n-vR2Tl — преобразование фазового пространства (Р, Q), осуществляемое фазовым потоком за время от t0 до J1 (т. е. gf0 (р0, q0) есть решение канонических уравнений (1) с начальными условиями р (t0) = р0, Q (to) = Qo)- Пусть у — любая замкнутая кривая в пространстве R2n CZ R2n+1 (t = t0).
Тогда gfy есть замкнутая кривая в пространстве R2" (t = J1), охватывающая ту же трубку фазовых траекторий в R2™+2. По предыдущей теореме, так как dt — 0 на у и на guy, находим.
cj) р dq = cj) р dq, что и требовалось доказать.
У и
«О*
Форма pdq называется относительным интегральным инвариантом Пуанкаре. Он имеет простой геометрический смысл. Пусть о — двумерная ориентированная цепь, у = до. Тогда находим по формуле Стокса
Рис. 183. Интегральный ин" вариант Пуанкаре
cj) р dq = JJ dp Д dq.
Итак, доказано важное
Следствие 2. Фазовый поток сохраняет сумму ориентированных площадей проекций поверхности на п координатных плоскостей (pi, Qi):
§dp/\*I= SS dp/\dq.
et?
Иными словами, 2-форма to2 = dp Д dq является абсолютным интегральным инвариантом фазового потока.
Пример. При п = lto2 есть площадь, и мы получаем теорему Лиувилля: фазовый поток сохраняет площадь.
Д. Канонические отображения. Пусть g — дифференцируемое-отображение фазового пространства R2n = {(р, q)} в R2".
210
ГЛ. 9. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ
Определение. Отображение g называется каноническим, если g сохраняет 2-форму to2 = Edp,- Д
Из предыдущих рассуждений видно, что это определение можно записать в любом из трех эквивалентных видов:
1) g*co2 = to2 (g сохраняет 2-форму 2фг Д dqt);
2) со2 = CO2Vo (g сохраняет сумму площадей проекций лю-
о go
бой поверхности);
3) р dq — (J) р dq (форма pdq — относительный интеграль-
ный инвариант g).
Задача. Покажите, что определения 1), 2) эквивалентны 3), если речь идет об отображении односвязной области в фазовом пространстве R2n; в общем случае 3 2 фф 1.
Предыдущие следствия теперь можно сформулировать так: Теорема. Преобразование фазового пространствау осуществляемое фазовым потоком, каноническое.
Пусть g: Ran ->¦ R2n — каноническое преобразование: g сохраняет форму со2. Тогда g сохраняет также и внешний квадрат со2:
g* (со2 Д со2) = со2 Д со2, g* (со2)* = (со2)*. Внешние степени формы "!,dpi Д dqt пропорциональны формам со4 = S dpi Д dp, Д dqi Д dqjt
г<3
со2*= S dpit/\.../\ dp, Д Д - - • Д dqi
4< — <ik к
Итак, доказана
Теорема. Канонические преобразования сохраняют интегральные инварианты со4, . . ., со2п.
Геометрически интеграл формы co2R означает сумму ориентированных объемов проекций на координатные плоскости (pit, . . . • • ч Pi^ 9i,i • ¦ -. Qi1)-
В частности, форма со2п пропорциональна элементу объема, и мы получаем
Следствие. Каноническое преобразование сохраняет элемент объема в фазовом пространстве:
объем gD = объем D для любой области D.
В частности, в применении к фазовому потоку получаем
Следствие. Фазовый поток (1) имеет интегральными инвариантами формы со2, со4, . . ., со2™.
Последний из инвариантов есть фазовый объем, так что мы вновь доказали теорему Лиувилля.
§ 45. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ИНВАРИАНТЕ 211
§ 45. Следствия из теоремы об интегральном инварианте Пуанкаре — Картана
В этом параграфе докавано, что канонические преобразования сохраняют вид уравнений Гамильтона, что один первый интеграл уравнений Гамильтона позволяет понизить порядок системы сразу на две единицы и что движение в лагранжевой натуральной системе происходит по геодезической конфигурационного пространства, снабженного некоторой римановой метрикой.
А. Замены переменных в канонических уравнениях. Из инвариантности связи формы р dq — Hdt с ее линиями ротора вытекает способ писать уравнения движения в любой системе 2п + 1 координат в расширенном фазовом пространстве {(р, q, t)}.
Пусть (хи .... X2n+1) — коорди- . , і х х
