Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Итак, пространство всех твердых тел с точки зрения динамики вращения вокруг О трехмерно, из скольких бы точек тела ни состояли.
Мы можем даже рассматривать «сплошное Рис 118 сплошное*
Твердое ТЄЛО ПЛОТНОСТИ р(0)», ИМЄЯ B ВИДУ твердое тело
предел при ДО —> 0 последовательности тел из
конечного числа точек Oi с массами P(Oj)A-Qi (рис. 118) или-
что сводится к тому же, любое тело с моментами инерции
'. = $Sp(0)r8(Q)dQ,
где г — расстояние от Q до оси е.
Пример. Найти оси и моменты инерции однородной плоской пластинки I z I ^ a, z = 0 относительно О.
Решение. Так как пластинка имеет три плоскости симметрии, эллипсоид инерции имеет те же плоскости симметрии и, значит, оси инерции-х, у, z. Далее,
а ь
С С та?
Ix = \ \ х2Р dx йу = -jj- ,
—а — ь
точно так же
mb2 1V — 3 '
очевидно, I2 = Ix + Iy.
Задача. Доказать, что моменты инерции любого тела удовлетворяют неравенствам треугольника
причем равенство может иметь место только для плоского тела.
Задача. Найти оси и моменты инерции однородного эллипсоида-массы т с полуосями а, Ь, с относительно центра О.
Указание. Рассмотрите сначала шар.
Задача. Доказать теорему Штейнера:
Моменты инерции любого твердого тела относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр инерции, связаны соотношением
I = I0 + mr2,
126
ГЛ. 6. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
где т — масса тела, г — расстояние между осями, I0 — момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции.
Таким образом, момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции, меньше момента инерции относительно любой параллельной оси.
Задача. Найти оси и момент инерции однородного тетраэдра относительно его вершины.
Задача. Нарисовать вектор кинетического момента M для тела с заданным эллипсоидом инерции, вращающегося с данной угловой скоростью Q.
Ответ. M имеет направление нормали к эллипсоиду инерции в точке .на оси Q (рис. 119).
Рис. 119. Угловая Рис. 120. ГГоведе-
скорость, элли- ние моментов инер-
псоид инерции ции при уменыпе-и кинетической нии тела
Задача. От твердого тела, закрепленного в неподвижной точке О, ¦отрезали кусок (рис. 120). Как изменятся главные моменты инерции? Ответ. Все три главных момента уменьшатся. Указание. Ср. § 24.
Задача. К твердому телу с моментами инерции I1 > I2 > I3 добавили малую массу е в точке Q = X1^e1 + ж2е2 + х3е3. Найти изменение Z1 и ех с погрешностью О (е2).
Решение. Центр инерции сместится на расстояние порядка е. Следовательно, моменты инерции старого тела относительно параллельных осей, проходящих через старый и новый центры инерции, различаются на величину порядка е2. В то же время добавление массы меняет момент инерции относительно любой фиксированной оси на величину порядка е. Поэтому при вычислениях с погрешностью О (е2) мы можем пренебрегать смещением центра инерции.
Итак, кинетическая энергия после добавления малой массы принимает
вид
Г = T0 + -2-e[Q, О]2+ О (е2),
1
где T0==-?-(I1Qi +120%-{-I3Qg) —кинетическая энергия исходного тела.
Ищем собственное число I1 (е) и собственный вектор et (е) оператора инерции в виде рядов Тейлора по е. Приравнивая коэффициенты при е в соотношении А (е) et (е) = I1 (е) et (е), находим с погрешностью О (е2):
/ X1X2 X1X2 \
/і(е)ж/і+е(а* + аф, Єі (Є) Ж в1 + Є yh _ ^ C2 + /з _ h Є3) .
Из формулы для I1 (е) видно, что изменение главных моментов инерции (в первом приближении по е) такое же, как если бы ни центр, ни оси инерции не менялись. Формула для ех (е) показывает, как меняется направление
§ 29. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
127
главных осей: ближайшая большая полуось эллипсоида инерции приближается к добавляемой точке, а малая — удаляется от нее. Далее, добавление малой массы на одной из главных плоскостей эллипсоида инерции поворачивает две оси, лежащие в этой плоскости, и не меняет направление-третьей оси. Появление разностей моментов инерции в знаменателе связано с тем, что у эллипсоида вращения главные оси не определены. Если эллипсоид инерции близок к эллипсоиду вращения (скажем, Z1 ж j2), то добавление-малой массы может сильно повернуть главные оси C1 и е2 в натянутой на них плоскости.
§ 29. Уравнения Эйлера. Описание движения по Пуансо
Здесь исследуется движение твердого тела вокруг неподвижной точки в отсутствие внешних сил и тем самым движение свободного твердого тела. Движение оказывается двухчастотным.
А. Уравнение Эйлера. Рассмотрим движение твердого тел» вокруг неподвижной точки О. Пусть M — вектор кинетического момента тела относительно О в теле, ? — вектор угловой скорости в теле, А — оператор инерции (AQ = М); векторы ?, M принадлежат подвижной системе координат К (§ 26). Вектор кинетического момента тела относительно О в пространстве т = — BM сохраняется при движении (§ 28, Б).
Значит, вектор M в теле (M ЕЕ К) должен двигаться так, чтобы вектор т = BtM(t) при изменении t не менялся.
Теорема. Имеет место соотношение
