Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
^=[M, Q]. (1>
Доказательство. Применим формулу (5) § 26 для скорости движения относительно неподвижного пространства Ar «точки» M (t) ЕЕ К. Получаем
т=ВМ + [&, т] = В(М + [?, M]).
Но так как момент относительно пространства т сохраняется (т = 0), то Ж + [?, M] = 0, ч. т. д.
Соотношение (1) называется уравнением Эйлера. Так как M = = AQ, (1) можно рассматривать как дифференциальное уравнение относительно M (или относительно ?). Если
Q = q1b1 + Я2е2 + Й3е3, M = M^e1 + М2е2 + М3е.
3'
разложения ? и M по осям инерции в О, то M1 = Z1Q1- и (1) принимает вид системы трех уравнений
dM2 **Ь=1ЧргЫШ1 (2>
где O1 = ——-—, а2 = ,j, я3 =—J-J—, или же вид системы трех
128
ГЛ. 6. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
уравнений для трех компонент угловой скорости
/»-^=(/1-/.^1?.
Замечание. Если на тело действуют внешние силы, сум-¦ма моментов которых относительно О равна п в неподвижной системе координат и Л" в подвижной (н = BN), то
т = п,
да уравнение Эйлера принимает вид
Б. Исследование решений уравнения Эйлера.
Лемма. Уравнение Эйлера (2) имеет два квадратичных лервых интеграла
М\ М% Ml „929
2E =-^-+ -^-+ -^- и AP = Ml +Mt +Ml
I1 І2 H
Доказательство. ? сохраняется по закону сохранения ¦энергии, a M2 — по закону сохранения момента т, так как т2 = M2 = M2. Лемма доказана.
Итак, M лежит на пересечении эллипсоида со сферой. Чтобы разобраться в строении кривых пересечения, зафиксируем эллипсоид E > О и будем менять радиус сферы M (рис. 121).
Предположим для определенности, что I1 > I2 > I3- Полуоси эллипсоида будут YWT1 > Y2EI2 > Y2EI3- Если радиус сферы M меньше меньшей полуоси или больше большей (M <jY%EIs или M >¦ Y^EI1), то пересечение пу-
Рис. 121. Траектории уравнении СТ0' И_Т8КИМ Значениям E И M НИКЭ-Эйлера на поверхности уровня КОЄ ДЄИСТВИТЄЛЬНОЄ ДВИЖЄНИЄ НЄ ОТВЄ-
энергии чает. Если радиус сферы равен малой
полуоси, то пересечение состоит из двух точек. При увеличении радиуса (Y2EI3 < M <С Y^EI2) получаются две кривые вокруг концов малой полуоси. Точно также, если радиус сферы равен большой полуоси, получаются ее концы, а если немного меньше,— то две близкие к концам большой полуоси замкнутые кривые. Наконец, если M = Y^EI2, пересечение состоит из двух окружностей.
§ 29. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
129
Каждый из шести концов полуосей эллипсоида есть отдельная траектория уравнений Эйлера (2) — стационарное положение вектора М. Ему соответствует постоянное значение вектора угловой скорости, направленного вдоль одной из осей инерции et; при этом й остается все время коллинеарным М. Поэтому вектор угловой скорости сохраняет свое положение © в пространстве коллинеарным т: тело просто вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной в пространстве оси инерции е,-.
Определение. Движение тела, при котором его угловая скорость остается постоянной (© = const, й = const), называется стационарным вращением.
Доказана
Теорема. Твердое тело, закрепленное в точке О, допускает стационарное вращение вокруг любой из трех своих осей инерции
"і» ^2' извели, как мы предполагали, Z1 > I2 ^> I3, то правая часть уравнения Эйлера больше нигде в 0 ве обращается, т. е. других стационарных вращений нет.
Исследуем теперь устойчивость стационарных решений уравнения Эйлера (по Ляпунову).
Теорема. Стационарные решения M = Мгег и M = M3C3 уравнений Эйлера, соответствующие большей и меньшей осям инерции, устойчивы, а решение, соответствующее средней оси (M = М2е2), неустойчиво.
Действительно, при малом отклонении начального условия от M^e1 или M3C3 траектория будет малой замкнутой кривой, а при малом отклонении от М2е2 — большой.
Задача. Устойчивы ли по Ляпунову стационарные вращения тела вокруг большой и малой осей инерции? Ответ. Нет.
В. Описание движения по Пуансо. Мы хорошо представляем себе движение векторов момента и угловой скорости в теле (If и й) — оно периодично, если M ф \f IEIi-
Чтобы увидеть, как вращается тело в пространстве, рассмотрим его эллипсоид инерции
Э = (Й : (AQ, Q) = 1} (Z К,
где А : й —> M — симметрический оператор инерции тела, закрепленного в О.
В каждый момент времени эллипсоид Э занимает в неподвижном пространстве к положение Bt3.
Теорема (Пуансо). Эллипсоид инерции катится без скольжения по неподвижной плоскости, перпендикулярной вектору момента т (рис. 122).
Доказательство. Рассмотрим плоскость л, перпендикулярную вектору момента т и касательную к эллипсоиду
130
ГЛ. 6. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
инерции Bt9. Таких плоскостей всего две, и в точке касания нормаль к эллипсоиду параллельна т.
Но эллипсоид Э имеет в точке й нормаль grad (AQ, fi) =
= 2AQ = 2М. Поэтому в точках + § = -
пересечения
оси со с Btd нормаль к Btd как раз коллинеарна т.
Итак, плоскость я. касается Bt9 в точках на мгновенной оси вращения, +§. Но скалярное произведение | с неподвижным
вектором т равно ip==="(m> 40J-і V^-T и потому постоянно.
Итак, расстояние плоскости л. от О не меняется, т. е. плоскость я. неподвижна.