Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 47

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 195 >> Следующая


^=[M, Q]. (1>

Доказательство. Применим формулу (5) § 26 для скорости движения относительно неподвижного пространства Ar «точки» M (t) ЕЕ К. Получаем

т=ВМ + [&, т] = В(М + [?, M]).

Но так как момент относительно пространства т сохраняется (т = 0), то Ж + [?, M] = 0, ч. т. д.

Соотношение (1) называется уравнением Эйлера. Так как M = = AQ, (1) можно рассматривать как дифференциальное уравнение относительно M (или относительно ?). Если

Q = q1b1 + Я2е2 + Й3е3, M = M^e1 + М2е2 + М3е.

3'

разложения ? и M по осям инерции в О, то M1 = Z1Q1- и (1) принимает вид системы трех уравнений

dM2 **Ь=1ЧргЫШ1 (2>

где O1 = ——-—, а2 = ,j, я3 =—J-J—, или же вид системы трех

128

ГЛ. 6. ТВЕРДОЕ ТЕЛО

уравнений для трех компонент угловой скорости

/»-^=(/1-/.^1?.

Замечание. Если на тело действуют внешние силы, сум-¦ма моментов которых относительно О равна п в неподвижной системе координат и Л" в подвижной (н = BN), то

т = п,

да уравнение Эйлера принимает вид

Б. Исследование решений уравнения Эйлера.

Лемма. Уравнение Эйлера (2) имеет два квадратичных лервых интеграла

М\ М% Ml „929

2E =-^-+ -^-+ -^- и AP = Ml +Mt +Ml

I1 І2 H

Доказательство. ? сохраняется по закону сохранения ¦энергии, a M2 — по закону сохранения момента т, так как т2 = M2 = M2. Лемма доказана.

Итак, M лежит на пересечении эллипсоида со сферой. Чтобы разобраться в строении кривых пересечения, зафиксируем эллипсоид E > О и будем менять радиус сферы M (рис. 121).

Предположим для определенности, что I1 > I2 > I3- Полуоси эллипсоида будут YWT1 > Y2EI2 > Y2EI3- Если радиус сферы M меньше меньшей полуоси или больше большей (M <jY%EIs или M >¦ Y^EI1), то пересечение пу-

Рис. 121. Траектории уравнении СТ0' И_Т8КИМ Значениям E И M НИКЭ-Эйлера на поверхности уровня КОЄ ДЄИСТВИТЄЛЬНОЄ ДВИЖЄНИЄ НЄ ОТВЄ-

энергии чает. Если радиус сферы равен малой

полуоси, то пересечение состоит из двух точек. При увеличении радиуса (Y2EI3 < M <С Y^EI2) получаются две кривые вокруг концов малой полуоси. Точно также, если радиус сферы равен большой полуоси, получаются ее концы, а если немного меньше,— то две близкие к концам большой полуоси замкнутые кривые. Наконец, если M = Y^EI2, пересечение состоит из двух окружностей.

§ 29. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА

129

Каждый из шести концов полуосей эллипсоида есть отдельная траектория уравнений Эйлера (2) — стационарное положение вектора М. Ему соответствует постоянное значение вектора угловой скорости, направленного вдоль одной из осей инерции et; при этом й остается все время коллинеарным М. Поэтому вектор угловой скорости сохраняет свое положение © в пространстве коллинеарным т: тело просто вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной в пространстве оси инерции е,-.

Определение. Движение тела, при котором его угловая скорость остается постоянной (© = const, й = const), называется стационарным вращением.

Доказана

Теорема. Твердое тело, закрепленное в точке О, допускает стационарное вращение вокруг любой из трех своих осей инерции

"і» ^2' извели, как мы предполагали, Z1 > I2 ^> I3, то правая часть уравнения Эйлера больше нигде в 0 ве обращается, т. е. других стационарных вращений нет.

Исследуем теперь устойчивость стационарных решений уравнения Эйлера (по Ляпунову).

Теорема. Стационарные решения M = Мгег и M = M3C3 уравнений Эйлера, соответствующие большей и меньшей осям инерции, устойчивы, а решение, соответствующее средней оси (M = М2е2), неустойчиво.

Действительно, при малом отклонении начального условия от M^e1 или M3C3 траектория будет малой замкнутой кривой, а при малом отклонении от М2е2 — большой.

Задача. Устойчивы ли по Ляпунову стационарные вращения тела вокруг большой и малой осей инерции? Ответ. Нет.

В. Описание движения по Пуансо. Мы хорошо представляем себе движение векторов момента и угловой скорости в теле (If и й) — оно периодично, если M ф \f IEIi-

Чтобы увидеть, как вращается тело в пространстве, рассмотрим его эллипсоид инерции

Э = (Й : (AQ, Q) = 1} (Z К,

где А : й —> M — симметрический оператор инерции тела, закрепленного в О.

В каждый момент времени эллипсоид Э занимает в неподвижном пространстве к положение Bt3.

Теорема (Пуансо). Эллипсоид инерции катится без скольжения по неподвижной плоскости, перпендикулярной вектору момента т (рис. 122).

Доказательство. Рассмотрим плоскость л, перпендикулярную вектору момента т и касательную к эллипсоиду

130

ГЛ. 6. ТВЕРДОЕ ТЕЛО

инерции Bt9. Таких плоскостей всего две, и в точке касания нормаль к эллипсоиду параллельна т.

Но эллипсоид Э имеет в точке й нормаль grad (AQ, fi) =

= 2AQ = 2М. Поэтому в точках + § = -

пересечения

оси со с Btd нормаль к Btd как раз коллинеарна т.

Итак, плоскость я. касается Bt9 в точках на мгновенной оси вращения, +§. Но скалярное произведение | с неподвижным

вектором т равно ip==="(m> 40J-і V^-T и потому постоянно.

Итак, расстояние плоскости л. от О не меняется, т. е. плоскость я. неподвижна.
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed