Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
V = [Cl, ff].
По определению кинетического момента точки массы т относительно О,
т = [ff, mv] = т [q, [to, ff]].
Итак,
M=^m[Q, [Q, Q]]. Возникает линейный оператор, переводящий Q в Ы: А : К -> К, AQ = М.
Этот оператор зависит еще от точки тела (Q) и ее массы (т). Лемма. Оператор А симметрический.
Доказательство. При любых X El К, Y El К ввиду соотношения ([а, Ъ], с) = ([с, а], Ъ) имеем
(АХ, Г) = т ([О, [X, Q]], Г) = ш([Г, Q\, [X, Q]),
а последнее выражение симметрично относительно X и Y, ч. т. д.
Подставляя вместо XuY вектор угловой скорости Q и замечая, что [Q, Q]2 = V2 = V2, получаем
Следствие. Кинетическая энергия точки тела есть квадратичная форма относительно вектора угловой скорости Q, а именно:
Т=~ (AQ, Q) = J (M, Q).
Симметрический оператор А называется оператором (или тензором) инерции точки Q.
Если тело состоит из многих точек Qi с массами т,, то, суммируя, получаем:
Теорема. Кинетический момент M твердого тела относительно неподвижной точки О линейно зависит от угловой скорости Й, т. е. существует линейный оператор А : К —* К, AQ = М. Оператор А симметричен.
S 28. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
123
Кинетическая энергия тела есть квадратичная дюрма относительно угловой скорости Q,
T = J(AQ, Q) = ~(M, Q).
Доказательство. По определению, кинетический момент тела равен сумме моментов его точек:
M = JM1 = J1A1Q = AQ, где A = JiA1.
г г г
Так как оператор инерции каждой точки A1 по лемме симметрический, оператор А также симметрический. Для кинетической энергии, по определению, получаем
T = ^T1 = ^J(M1, Q)=J(M, Q) = J(AQ,Q), ч. т. д.
і г
Г. Оси инерции. Как всякий симметрический оператор, А имеет три взаимно ортогональных собственных направления. Пусть е1т е2, е3 ЄЕ К — их орты, Z1, I2, I3 — собственные числа. В базисе et оператор инерции и кинетическая энергия имеют особенно простой вид:
M1 = I1Qi, T = J(I1ql +I2ql +IfLl).
Оси et называются осями инерции тела в точке О.
Конечно, если не все числа I1, I2, I3 различны, то оси инерции «; определены неоднозначно. Выясним подробнее смысл собственных чисел I1, I2, I3.
Теорема. При вращении твердого тела, закрепленного в точке О, с угловой скоростью Q = qe (Q = | Q |) вокруг оси е кинетическая энергия равна
T=JleQ\ где Ie=Jm1A,
Л г
и Vi означает расстояние і-й точки до оси е (рис. 115).
Доказательство. По определению, T = -y m%v\,
і
но \vt \ = Qr1, поэтому T = J т(г1) Q2, ч. т. д.
і
Число 1е зависит от направления е оси вращения Q в теле. Определение. 1е называется моментом инерции тела относительно оси е:
Ie = Jm1A-
І
Сравнивая два полученных выражения для Г, получаем
124 ГЛ. 6. ТВЁРДОЕ ТЕЛО
Эллипсоид инерции
Рис. 115. Кинетическая энергия Рис. 116. Эллипсоид
тела, вращающегося вокруг оси инерции
Теорема. Векторы е!\!1е образуют эллипсоид в К. Доказательство. Если Q — el\f1е, то квадратичная форма T=-^-(AQ, Q) равна 1/2. Поэтому {Q) есть множество
уровня положительно определенной квадратичной формы, т. е. эллипсоид, ч. т. д. Можно сказать, что эллипсоид этот составлен из векторов угловой скорости Q, для которых кинетическая энергия равна 1/2.
Определение. Эллипсоид {Q: (AQ, Q) = 1} называется эллипсоидом инерции тела в точке О (рис. 116). В осях инерции єі его уравнение имеет вид
I1Ql +I2Ql +I3Ql=L Итак, главные оси эллипсоида инерции направлены по осям инерции,
а их длины обратно пропорциональны \]I\.
Замечание. Если тело вытянуто вдоль какой-нибудь оси, то момент инерции относительно этой оси мал, следовательно, эллипсоид инерции тоже вытянут вдоль этой оси, так что эллипсоид инерции повторяет некоторые черты тела.
Если тело имеет проходящую через О ось симметрии порядка к (так что оно совмещается с собой при повороте вокруг нее на 2л/к), то и эллипсоид инерции имеет такую же симметрию сайд инерции™™- относительно этой оси. Но у трехосных эллипсои-
ностороннего^треу- дов НЄ бывает ОСЄЙ Симметрии ПОрЯДКЭ к > 2.
Поэтому всякая ось симметрии тела порядка к ^> 2 есть ось вращения эллипсоида инерции и, следовательно, его главная ось.
Пример. Эллипсоид инерции трех точек массы т в вершинах рав -постороннего треугольника относительно центра О есть эллипсоид вращения вокруг нормали к плоскости треугольника (рис. 117).
Следствие. Собственные числа /г оператора инерции А суть моменты инерции тела относительно осей инерции ег.
Д. Эллипсоид инерции. Чтобы изучить зависимость момента инерции 1е от направления оси е в теле, рассмотрим векторы е/]А/е, где орт е пробегает единичную сферу.
S 28. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
125-
Если же имеется несколько таких осей, то эллипсоид инерции — шар, и любая ось — главная.
Задача. Провести через центр куба прямую так, чтобы сумма квадратов ее расстояний от вершин куба была: а) наибольшей, б) наименьшей.
Заметим теперь, что эллипсоид инерции (или оператор инерции, или моменты инерции I1, Iz, Із) полностью определяет вращательные свойства нашего тела: если мы рассмотрим два тела с одинаковыми эллипсоидами инерции, то при одинаковых начальных условиях они будут двигаться одинаково (так как у них одинаковые функции Лагранжа L = Т).
