Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
*) Строго говоря, конфигурационное пространство твердого тела есть R3 X 0(3), a R3 X SO(3) — лишь одна из двух связных компонент этого многообразия, соответствующая определенной ориентации тела.
120
ГЛ. 6. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
Б. Законы сохранения. Рассмотрим задачу о движении свободного твердого тела по инерции, вне силовых полей. Примером (приближенно) может служить кувыркание космического аппарата.
Система допускает все поступательные перемещения: они не меняют функции Лагранжа. По теореме Нётер существуют три первых интеграла: три компоненты вектора количества движения. Или, иначе, доказана
Теорема. При свободном движении твердого тела его центр инерции движется равномерно и прямолинейно.
Но тогда мы можем рассмотреть инерциальную систему координат, в которой центр инерции неподвижен. Итак, получено
Следствие. Свободное твердое тело вращается около центра инерции так, как если бы центр инерции был закреплен в неподвижной точке О.
Тем самым задача сведена к задаче с тремя степенями свободы о движении твердого тела вокруг неподвижной точки О. Исследуем подробнее эту задачу (не обязательно предполагая, что О есть центр инерции тела).
Функция Лагранжа выдерживает все вращения вокруг точки О. По теореме Нётер существуют три соответствующих первых интеграла: три компоненты вектора кинетического момента. Сохраняется также полная энергия системы E-T (она сводится здесь к кинетической). Итак, доказана
Теорема. В задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки О при отсутствии внешних сил имеется четыре первых интеграла: Mx, Му, M2, Е.
Из этой теоремы можно без всяких вычислений получить качественные выводы о движении.
Положение и скорость тела определяются точкой шестимерного многообразия T SO (3) — касательного расслоения конфигурационного многообразия SO(3). Первые интегралы Mx, Му, Mz, E суть четыре функции на многообразии T SO(3) размерности 6. Можно проверить, что в общем случае (если тело не обладает особой симметрией) эти четыре функции независимы. Поэтому четыре уравнения
Mx = C1, My = C2, M2 = C3, E = C4 > О
определяют двумерное подмногообразие Vc в шестимерном многообразии ГБО(З).
Это многообразие инвариантно: если начальные условия движения задают точку на многообразии V0, то во все время движения точка T SO(3), соответствующая положению и скорости тела, остается на V0.
Поэтому многообразие V0 допускает касательное векторное поле (а именно, поле скоростей движения на T SO(3)); при C4 ^> О это поле не может иметь особых точек. Далее, легко проверить,
§ 28. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
121
что V0 компактно (использовать E) и ориентируемо (так как T SO(3) ориентируемо) *).
В топологии доказывается, что все связные ориентируемые компактные двумерные многообразия суть сферы с п ручками, п>0 (рис. 113).
Рис. 113. Двумерные компактные связные ориентируемые многообразия
Из них только тор (п = 1) допускает касательное векторное поле без особых точек.
Итак, инвариантное многообразие V0 есть двумерный тор (или несколько торов).
Мы увидим в дальнейшем, что на этом торе можно так выбрать угловые координаты Cp1, ф2 (mod 2я), что движение изображающей точки по V0 будет задаваться уравнениями
<Pi = «і (с). Ф2 = (с).
Иными словами, вращение твердого тела представляет собой наложение двух периодических движений с разными, вообще говоря, периодами: если частоты Oj1 и ш2 несоизмеримы, то тело никогда не возвращается к пройденному состоянию движения. Величины частот Oj1 и (й2 зависят от начальных условий с.
В. Оператор инерции. Перейдем теперь к количественной теории и введем следующие обозначения. Пусть к — неподвижная, К — вращающаяся вместе с телом вокруг точки О система координат: в ней тело покоится. Каждый вектор в пространстве К переводится в пространство к оператором В. Соответствующие векторы пространств К т. к мы будем обозначать одинаковыми буквами: прописными для К, строчными для к. Так, например (рис. 114):
*) Легко доказываются, следующие утверждения.
1. Пусть Д. . . ., /?-: m-^r- функции на ориентированном многообразии м. Рассмотрим множество v, заданное уравнениями Z1 = c1, . . . . . ., /д. = с/,.. Предположим, что градиенты j1, ...,/*• в каждой точке v линейно независимы. Тогда У ориентируемо.
2. Прямое произведение ориентируемых многообразий ориентируемо.
3. Касательное расслоение T SO(3) есть прямое произведение R3 X X SO (3).
Многообразие, касательное расслоение которого является прямым произведением, называется параллелизуемым. Группа SO(3) (как и всякая группа Ли) параллелизуема.
4. Параллелизуемое многообразие ориентируемо.
Из 1—4 вытекает ориентируемость SO(3), jTSO(3) и vc.
о
Рис. 114. Радиус-вектор, вектор скорости, угловая скорость и кинетический момент точки тела в пространстве
122
ГЛ. 6. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
q Elk — радиус-вектор точки в пространстве, Q El К — ее ще радиус-вектор в теле, q = BQ. v = q EH к — вектор скорости точки в пространстве, V El К — тот же вектор в теле, V = BV, et ЄН к — угловая скорость в пространстве, Q El К — угловая скорость в теле, со = BQ, т El к — кинетический момент в пространстве, M El К — кинетический момент в теле, т -- BM. Так как оператор В: К —> к сохраняет метрику и ориентацию, он сохраняет скалярные и векторные произведения. По определению угловой скорости (§ 26)
