Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
v' = BQ Ez к — относительная скорость,
Vn = BQ = lti), q — г] Ez к — переносная скорость вращения, ^ 106 Сложение ск0_„
V0 = г Ez к — скорость движения подвиж- ростей
ной системы координат.
Задача. Покажите, что угловая скорость твердого тела не зависит от выбора начала координат подвижной системы К в теле.
Задача. Покажите, что самое общее перемещение твердого тела есть винтовое перемещение, т. е. произведение поворота на< угол ф вокруг некоторой оси и сдвига на h вдоль нее.
Задача. На столе лежат часы. Найти угловую скорость часовой стрелки а) относительно Земли, б) относительно инерциальной системы координат.
Указание. Если даны три системы координат k, k1, кг, то угловая скорость k1 относительно к равна сумме угловых скоростей k1 относительно к и k1 относительно k1. Ибо
(E + A1I + ...)(E + Att + . . .) = E + (A1 + A2) t+ ...
§ 27. Силы инерции. Сила Кориолиса
Уравнения движения в неинерциальной системе координат отличаются-от уравнений движения в инерциальной системе дополнительными слагаемыми, называемыми силами инерции. Это позволяет экспериментально обнаруживать неинерциальность (например, вращение Земли вокруг ее оси).
А. Поступательно движущаяся система координат.
Теорема. В системе координат К, движущейся поступательно относительно инерциальной к, движение механических систем происходит так, как если бы система координат была инерциальной, но на каждую точку массы т действовала дополнителъ— Ная «сила инерции» F = —т'г, где г — ускорение системы К.
116
ГЛ. 6. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
Доказательство. Если Q = д — г (t), то mQ = mg — — m'r. Влияние поступательного движения системы координат «водится, таким образом, к появлению дополнительного однородного силового поля — mW, где W — ускорение начала координат, ч. т. д.
Пример 1. Ракета при старте имеет направленное вверх ускорение г (рис. 107). В соответствии с этим I (J]IQ-P) система координат К, связанная с ракетой, не пнерциаль-1 на, и наблюдатель, находящийся внутри, может обна-
ружить появление силового поля — mw, и измерить си-//|\\ лы инерции, например, пружинными весами. В этом
7//J/JJ/J//////7 случае сила инерции называется пере грузкой.
Пример 2. При прыжке с вышки прыгун имеет Рис. 107. Пере- ускорение д, направленное вниз. В соответствии с этим грузка сумма сил инерции и веса равна нулю; пружинные весы
показывают, что вес любого предмета равен нулю, поэтому такое состояние называется невесомостью. Точно так же при свободном баллистическом полете спутника наблюдается невесомость, так как сила инерции противоположна спле притяжения Землей.
Пример 3. Если точка подвеса маятника движется с ускорением w (t), то маятник движется так, как если бы ускорение силы тяжести д было переменным и равным д — w (t).
Б. Вращающаяся система координат. Пусть Bt: К ->- к — вращение системы координат A" относительно неподвижной системы координат к. Будем обозначать через Q (t) E= К радиус-вектор движущейся точки в подвижной системе координат, а через д (t) = = B1Q (t) ЕЕ; к — в неподвижной. Вектор угловой скорости вращения в подвижной системе координат обозначим, как в § 26. через Q.
Предположим, что в системе координат к движение точки д подчиняется уравнению Ньютона mg = f {д, д).
Теорема. Во вращающейся системе координат движение происходит так, как если бы на каждую движущуюся точку Q массы т действовали три дополнительные «силы инерции»:
сила инерции вращения — т [Q, Q],
сила Кориолиса — 2т [fi, Q], центробежная сила — т [fi, [Q, Q]]. Итак,
mQ = F — m [Q, Q] — 2т [Si, Q] — т [Q, [fi, Q]].
где
BF(Q, Q) = f (BQ, (BQ)).
Первая из трех сил инерции наблюдается лишь в случае неравномерного вращения; вторая и третья присутствуют и при равномерном вращении.
Центробежная сила (рис. 108) направлена всегда от мгновенной оси вращения Q, и равна по величине | Q |2г, где г — расстояние
§ 27. СИЛЫ ИНЕРЦИИ- СИЛА КОРИОЛИСА
117
Ш*4
Рис. І08. Центробежная сила инерции
B(Q + [Q1 Q]).
до этой оси. Эта сила не зависит от скорости относительного движения и действует даже на покоящиеся в системе координат К тела.
Сила Кориолиса зависит от скорости Q- В северном полушарии Земли она отклоняет всякое движущееся по Земле тело вправо, и падающее — на восток.
Доказательство теоремы. Заметим, что для любого вектора X К имеем BX. = В [Q, X]. Действительно, согласно
§ 2С, BX= [со, K]=IiBQ1 BX]. Это равно В [Q, X], так как оператор В сохраняет метрику и ориентацию, а потому и векторное произведение.
Из q = BQ заключаем, что q = BQ + BQ = Дифференцируя еще раз, находим
q = B(Q + ]Q,Q]) + B(Q + \U,Q] + [Q.O]) =
= В ([Q1 (Q + [Q, Q])] + Q+ [Q1Q] + [Q. Q]) =
= В(Q+2[Q, Q] + [Q, [Q, Q]] + [Q, Q]), ч. т. д.
(Мы еще раз воспользовались соотношением BX = В [Q, X]; на этот раз X = Q + [Q1 Q].)
Рассмотрим подробнее влияние вращения Земли на лабораторные эксперименты. Так как Земля вращается практически равномерно, можно считать U=O. Центробежная сила наибольшее значение имеет на экваторе,
