Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Задача. Докажите, что {g1} группа тогда и только тогда, когда правые части f не зависят от t.
Задача. Докажите, что если T — период f, то gT+s = gs-gT и, в частности, gnT = (gT)n, так что отображения gnT образуют группу (п — целые).
Отображение gT: Rn -> Rn играет важную роль в дальнейшем; мы назовем его отображением за период и обозначим через
4:Rn-*Rn, Ax(O)=X(T).
95. Отображение период
104
ГЛ. 5. КОЛЕБАНИЯ.
Приме р. Для систем
*i - X2, f*l = X1,
X2 =-X1, \х2 = — X2,
которые можно считать периодическими с любым периодом Т, отображение А есть поворот и гиперболический поворот (рис. 96).
Рис. 96. Поворот и гиперболический поворот
Теорема. 1) Точка X0 есть неподвижная точка отображения A (Ax0 = ж0) тогда и только тогда, когда реиіение с начальным условием X (0) = яс0 периодическое с периодом Т.
2) Периодическое решение х (t) устойчиво по Ляпунову (асимптотически устойчиво) тогда и только тогда, когда неподвижная точка X0 отображения А устойчива по Ляпунову (асимптотически устойчива) *).
3) Если система (2) линейна, т. е. f (х, t) = f (t) х — линейная функция х, то отображение А линейно.
4) Если система (2) гамильтонова, то отображение А сохраняет объем: det A = I.
Доказательство. Утверждения 1) и 2) вытекают из соотношения gr+s = g*A. Утверждение 3) вытекает из того, что сумма решений линейной системы есть снова решение. Утверждение (4) вытекает из теоремы Лиувилля.
Применим доказанную теорему к отображению А фазовой плоскости {(X1, X2)}, на себя, соответствующему уравнению (1) и
системе (3). Так как система (3) линейна и гамильтонова =
2 2 \
X. їп
== —2—H со -г,—J ' получаем
Следствие. Отображение А линейно и сохраняет площади (det А =1). Для устойчивости нулевого решения уравнения (1) необходима и достаточна устойчивость отображения А.
Задача. Доказать, что поворот плоскости — устойчивое отображение, а гиперболический поворот — неустойчивое.
*) Неподвижная точка ха отображения А устойчива по Ляпунову (соответственно асимптотически устойчива), если Ve > 0, 36 > 0, так что из I ж — X0 I < 6 вытекает( | A71X — Апх0 | < є для всех 0 <; п < со сразу (соответственно Апх — A71X0 —» 0 при п —* со).
§ 25. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС
105
В. Линейные отображения плоскости на себя, сохраняющие площадь.
Теорема. Пусть А — матрица сохраняющего площадь линейного отображения плоскости на себя (det А = 1). Тогда отображение А устойчиво, если | tr А | < 2, и неустойчиво, если I tr А I > 2 (tr А = O11 + O22).
Доказательство. Пусть K1, K2 — собственные числа А. Они удовлетворяют характеристическому уравнению К2 — tr ЛЯ + + 1 = 0 с вещественными коэффициентами K1 + Я2 = tr A9 K1-K2 = det А = 1.
Корни K1, K2 этого вещественного квадратного уравнения вещественны при I tr А I ^> 2 и комплексно-сопряжены при I tr А |< 2.
В первом случае одно из собственных чисел больше, а другое меньше единицы по модулю; отображение А есть гиперболический поворот и неустойчиво (рис. 97).
Во втором случае собственные "\ у -уф
числа лежат на единичной окружно- / Л.Д f г сти (рис. 97): \ # /Г^~
1 = K1-K2 = K1-K1 = |ЯХ р.
Отображение А эквивалентно поворо- Рис- 97- 006 женияЫлчисла отобра" ту на угол а (где Яь2 = е±га), т. е.
приводится к повороту соответствующим выбором координат на плоскости. Поэтому оно устойчиво, ч. т. д.
Таким образом, весь вопрос об устойчивости нулевого решения уравнения вида (1) свелся к вычислению следа матрицы А* К сожалению, вычислить этот след явно удается лишь в специальных случаях. Его всегда можно найти приближенно, численно интегрируя на отрезке 0 t Т. В важном случае, когда to (г) близка к постоянной, помогают простые общие соображения.
Г. Сильная устойчивость.
Определение. Нулевое решение гамильтоновой линейной системы сильно устойчиво, если оно устойчиво, и у всякой достаточно близкой линейной гамильтоновой системы нулевое решение тоже устойчиво *).
Из предыдущих двух теорем вытекает
Следствие. Если | tr А | < 2, то нулевое решение сильно устойчиво.
Ибо если I tr А I < 2, то для отображения А', соответствующего достаточно близкой системе, тоже выполнено условие \tiA' |< 2, ч. т. д.
*) Расстояние между линейными системами с периодическими коэффициентами х = B1 (t) х, я =В2 (t) X определяется как максимум расстояния между операторами B1 (t) и B2 (0 по t.
106
ГЛ. 5. КОЛЕБАНИЯ
Применим это к системе с почти постоянными (мало меняющимися) коэффициентами. Рассмотрим, например, уравнение
$ = —со2 (1 + т (t)) х, є <; 1, (4)
где a (t + 2л) = a (t), например, a (f) = cos t (рис. 98). (Маятник, частота которого колеблется около со с малой амплитудой и с периодом 2л.) *)
Каждую систему (4) будем изображать точкой на плоскости параметров є, со ]> 0. Очевидно, устойчивые системы с | tr А | < 2
Рис. 98. Мгновенная частота Рис. 99. Зоны параметрического резо-
как функция времени нанса
образуют на плоскости (со, є) открытое множество, так же как и неустойчивые системы с I tr А I ^> 2 (рис. 99).
