Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
COi < «і < CO2 < CO2 < • • • < t Рис. 91. ли„сй„ая свя.ь
< COn-J < CO^1 < COn.
В соответствии с леммой 2 эта теорема эквивалентна следующему геометрическому утверждению.
Теорема 4. Рассмотрим сечение n-мерного эллипсоида Э = {q- (Bq і q) = 1} с полуосями A1 J? O2 1> ... On гиперплоскостью R""1. Тогда полуоси п — 1-мерного
-• Ф • Ф * * * CD ¦
Рис. 92. Разделение частот Рис. 93. Полуоси сечения раз-
деляют полуоси эллипсоида
эллипсоида—сечения Э' разделяют полуоси эллипсоида Э (рис. 93): °i s> ai s> <h. ^ ?2 ^ . . . ^ а„_х J? cbn-X J=* on-
В. Экстремальные свойства собственных чисел.
Теорема 5.У любого сечения эллипсоида Э с полуосями ai а2 ^ • - • ?38 0-п k-мерным подпространством R'c малая полуось меньше или равна ah.:
afc = max min ||эс|| <r*> жев^пэ
(верхняя грань достигается на подпространстве, натянутом но полуоси U1 ^ й2 ^ ... ^ afc).
Дока з а т е л ь с т в о *). Рассмотрим подпространство натянутое на ОСи й|? ^ ... ?n. Его размерность
равна п — k + 1. Поэтому оно пересекается с RA Пусть ас — точка пересечения, лежащая на эллипсоиде Э. Тогда || ас || <; ак, по-
*) Полезно представлять себе случай п = 3, к = 2.
102
ГЛ. 5. КОЛЕБАНИЯ
скольку зс ЄЕ Rn-R+1. Так как || зс [| не меньше длины малой полуоси эллипсоида Э (~) RK, последняя не больше аь, ч. т. д.
Доказательство теоремы 2. Меньшая полуось каждого /с-мерного сечения внутреннего эллипсоида Rk |~| Э' не больше меньшей полуоси Rfc f] Э. По теореме 5
ак = max min ||sc||^max min ||ас|| = ак, ч. т.д.
{rkl xerKri3' {rfcl sesrKn3
Доказательство теоремы 4. Неравенство а'ц <^ <I afc следует из теоремы 5, так как при вычислении ак максимум берется по более широкому множеству. Чтобы доказать неравенство ?jt ^ ojc+h пересечем R""1 с любым к + 1 -мерным подпространством Rfc+1. Пересечение имеет размерность не меньше к. Малая полуось эллипсоида Э' (~) RK+1 не меньше малой полуоси Э П По теореме 5
а'ц = max min ||эс||;> max min ||ac||> (rth™-1) жеи^пэ' {r^+ich"1' sesr^na'
> max min ||зс|| = ah+1, ч. т. д. {rk+1cr"> иекк+1пэ
Теоремы 1 и 3 непосредственно вытекают из доказанных.
Задача. Докажите, что если, не меняя потенциальной энергии системы, увеличить кинетическую (например, сохранив пружины, увеличить массы), то каждая собственная частота уменьшится.
Задача. Докажите, что при ортогональном проектировании эллипсоида, лежащего в одном подпространстве евклидова пространства, на другое подпространство все его полуоси уменьшаются.
Задача. Пусть квадратичная форма А (є) на евклидовом пространстве Rn непрерывно дифференцируемо зависит от параметра е. Покажите, что каждое собственное число дифференцируемо зависит от є, и найдите производные.
Ответ. Пусть K1, . . ., —собственные числа А (0). Каждому собствен-
v-
ному числу Xi кратности vj отвечает подпространство R *. Производные собственных чисел А (е) в 0 равны собственным числам сужений формы
В частности, если все собственные числа А (0) простые, то их производные равны диагональным элементам матрицы В в собственном базисе А (0).
Из утверждения этой задачи следует, что при увеличении формы ее собственные числа растут. Мы получаем, таким образом, новое доказательство теорем 1 и 2.
Задача. Как меняется высота звучания колокола при появлении трещины?
§ 25. Параметрический резонанс
Если параметры системы периодически меняются со временем, то положение равновесия может сделаться неустойчивым, даже если оно и устойчиво при каждом фиксированном значении параметра. Благодаря такой неустойчивости можно раскачиваться на качелях.
5 25. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС
103
А. Динамические системы, параметры которых меняются со временем периодически.
Пример 1. Качели, у которых длина эквивалентного математического маятника Z (Z) меняется со временем периодически: Z (Z + T) = Z (Z) (рис. 94).
Пример 2. Маятник в поле с периодически меняющейся силой тяжести (например Луна) описывается уравнением Хилла
q = _ю2 ,t) ^ со (Z + 7і) = о) (Z). (1)
Пример 3. Маятник с периодически вертикально колеблющейся точкой подвеса также описывается уравнением вида (1).
Для систем с периодически меняющимися параметрами правые части уравнений движения — периодические функции Z. Уравнения движения можно записать в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
Рис. 94. Качели
x = f(x,t), f(x,t + T) = f(x,t), xE=Rn,
(2>
с периодическими правыми частями. Например, уравнение (1) можно записать в виде системы
X9 = — CO2X1
to(Z+ J) = W(Z).
(3)
Б. Отображение за период. Напомню общие свойства систем (2). Обозначим через g*: Rn ->¦ Rn отображение, переводящее х E= E= Rn в значение в момент Z g'x = tp (Z) редіения <р системы (2) с начальным условием <р (0) = х (рис. 95).
Отображения g* не образуют группы: вообще говоря,
*>1
SAx0
0 T
Рис.
на
