Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Замечание 1. Выведем из доказанной теоремы принцип Даламбера — Лагранжа для системы из п точек жг Є R8, і = = і, . . ., п, с массами mt, с голономными связями.
*) Расстояние точки ж (t) + 1 (*) до M второго порядка малости по сравнению с і (t).
S 21. ПРИНШШ ДАЛАМБЕРА
87
В координатах х = {Jc,- = У^ас,} кинетическая энергия принимает вид T = -jjp ^ mjdcf = -^-JC2-
По доказанной теореме экстремали принципа наименьшего действия удовлетворяют условию
(принцип Даламбера — Лагранжа) для точки в R3n: Зп-мерная сила реакции ортогональна многообразию M в метрике Т). Возвращаясь к координатам хи получаем
о = (УщЖі + 7^=^-. Y= (™A + -?"• 5і) •
т. е. принцип Даламбера — Лагранжа в указанной раньше форме: сумма работ сил реакции на виртуальном перемещении равна нулю.
Замечание 2. Принципу Даламбера — Лагранжа можно придать несколько иную форму, если обратиться к статике. Положением равновесия называется такая точка х0, которая является орбитой движения: ж (t) == х0.
Пусть материальная точка движется по гладкой поверхности M под действием силы / = —dU/dx.
Теорема. Чтобы точка x0 поверхности M была положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы сила была ортогональна поверхности: (/ (ж0), |) == 0 для всех 1 E= TMx,.
Это следует из уравнения Даламбера — Лагранжа ввиду х = 0.
Определение. — тх называется силой инерции. Теперь принцип Даламбера — Лагранжа принимает такой вид:
Теорема. Если к действующим в данный момент времени силам добавить силы инерции, то занимаемое движущейся точкой в данный момент времени положение ж станет положением равновесия.
Действительно, уравнение Даламбера
{-mx + /, І) = 0
выражает, согласно предыдущей теореме, тот факт, что ас есть положение равновесия системы с силами —mit + /.
Совершенно аналогичные предложения справедливы и для системы точек:
Если x = {хі} — положение равновесия, то сумма работ действующих сил на виртуальном перемещении равна нулю.
Если к действующим в данный момент времени силам добавить силы инерции — mtxi (t), то конфигурация х (t), в которой система- находится в этот момент, станет положением равновесия.
Итак, задача о движении приводится к задаче о равновесии под действием других сил.
88
ГЛ. 4 ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА НА МНОГООБРАЗИЯХ
Замечание 3. До сих пор мы не рассматривали случаи, когда связи зависят от времени. Все сказанное выше переносится на такие связи без изменений.
Пример. Рассмотрим бусинку, скользящую по стержню, наклоненному под углом а к вертикальной оси и вращающемуся равномерно, с угловой скоростью оо, вокруг этой оси (весом пренебрежем). За координату д примем расстояние 2-і от точки О (рис. 73). Кинетическая энергия и
. лагранжиан:
_z-^ L = T = J-mv1 = -g-ич2 + -j- пшРг2,
г = qsma.
Рис. 73. Бусинка, скользящая по вращающемуся стержню
Уравнение Лагранжа: та = moj2q sin2 а. Сила реакции в каждый момент времени ортогональна виртуальным перемещениям^, е. направлению стержня), но вовсе не ортогональна действительной траектории.
Замечание 4. Из уравнения Даламбера — Лагранжа легко выводятся законы сохранения. Например, если среди виртуальных перемещений есть сдвиг вдоль оси X1
It = е15
то сумма работ сил реакции на этом перемещении равна нулю: ^1(RUe1) = (ZR^e1) =0.
Будем теперь рассматривать силы реакции как внешние силы. Тогда замечаем, что сумма первых компонент внешних сил равна нулю. Значит, сохраняется первая компонента, P1, вектора количества движения.
Этот же результат мы получили выше из теоремы Нётер.
Замечание 5. Подчеркнем еще раз, что голономность той или иной физической связи (с той или иной степенью точности) есть вопрос эксперимента. С математической точки зрения голономность связей есть постулат физического происхождения; его можно вводить в разных эквивалентных формах, например в виде принципа наименьшего действия (1) или принципа Даламбера — Лагранжа (2) — но при определении связей речь всегда идет о новых, по сравнению с уравнениями Ньютона, экспериментальных фактах.
Замечание 6. Наша терминология несколько отличается от принятой в учебниках механики, где принцип Даламбера — Лагранжа распространяется на более широкий класс систем («не-голономные системы с идеальными связями»). В этой книге мы не будем рассматривать неголономные системы. Замечу только, что примером него л оно мной системы является катящийся по плос-
§ 21. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА
89
кости без скольжения шар. В касательном пространстве к конфигурационному многообразию неголономной системы в каждой точке фиксировано подпространство, которого должен касаться вектор скорости.
Замечание 7. Если система состоит из материальных точек, соединенных стержнями, шарнирами и т. п., то может возникнуть соблазн говорить о силе реакции той или иной отдельной связи.
Мы определили суммарную «силу реакции всех связей» Bj для каждой материальной точки Hi1. Понятие силы реакции отдельной связи определить нельзя, как видно уже из простого примера балки, опирающейся на три колонны. Если попытаться определять силы реакции колонн R1, 2?2, E3 предельным переходом (считая колонны очень жесткими пружинами), то мы убедимся, что результат зависит от распределения жесткости.
