Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Здесь дается новое определение системы материальных точек, стесненной голономными связями, и доказывается его эквивалентность определению, данному в § 17.
А. Пример. Рассмотрим голономную систему (M, L), где M — поверхность в трехмерном пространстве {х}:
L = -у WJc2 — U (х).
В механических терминах: «материальная точка х массы тп вынуждена оставаться на гладкой поверхности М».
Рассмотрим движение точки х (г). Если бы выполнялось уравнение Ньютона mX -(- -~- = О, то в отсутствие внешних^ сил
(U = 0) траектория была бы прямой и не могла бы лежать на поверхности М.
С точки зрения Ньютона это указывает на присутствие новой силы, «вынуждающей точку оставаться на поверхности». Определение. Величина
M= mx + -z—
Рис. 71. Реакция связи OX
называется силой реакции связи (рис. 71).
С учетом силы реакции It (г) уравнения Ньютона, очевидно, справедливы:
mx-----з--J- ti.
дх '
Физический смысл силы реакции R становится ясным, если мы рассмотрим нашу систему со связью как предел систем с потенциальной энергией U + NU1, N —> оо, EZ1 (х) = р2 (х, M). При больших N потенциал
_ OU1
связи NU1 обусловливает быстропеременную силу F =— ^' дх ' ПРИ 11P6" дельном переходе (N —> со) остается среднее значение JB силы F по колебаниям X около М. Сила F перпендикулярна к поверхности М. Поэтому сила реакции В перпендикулярна М: (R, |) = 0 для всякого касательного вектора |.
Б. Формулировка принципа Даламбера—Лагранжа. В механике касательные векторы к конфигурационному многообразию называются виртуальными перемещениями. Принцип Даламбера — Лагранжа гласит:
§ 21. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА
85
для всякого виртуального перемещения %, или еще иначе: работа силы реакции на любом виртуальном перемещении равна нулю. Для системы из материальных точек эс» с массами mt силы
реакции H1 определяются как Hi = + -^-, а принцип Даламбера имеет вид 2j (Hi, It) = 0, или ( [тпіхі + , ?. j = О, т. е.:
сумма работ сил реакций на любом виртуальном перемещении {ij} Є= іГЛ/ав равна нулю.
Указанное выше свойство связей называют идеальностью.
Если определять систему с голономной связью как предел при N —* оо, то принцип Даламбера — Лагранжа становится теоремой; ее доказательство намечено выше для простейшего случая.
Можно, однако, определять идеальную голономную связь при помощи принципа Даламбера — Лагранжа.
Таким образом, имеется три определения голономной системы со связями:
1) Предел систем с потенциальной энергией U + NU1, N —» оо.
2) Голономная система (M, L) где M — гладкое подмногообразие конфигурационного пространства системы без связей, L — лагранжиан.
3) Система, удовлетворяющая принципу Даламбера — Лагранжа. Все три определения математически эквивалентны. Доказательство утверждений 1) =ф- 2) и 1) =ф 3) намечено выше и в деталях проводиться не будет. Мы докажем, что 2) 3).
В. Эквивалентность принципа Даламбера—Лагранжа и вариационного принципа. Пусть M — подмногообразие евклидова пространства M CZ R^, и х: R M — кривая; х (Z0) = х0,
X (Z1) = X1.
Определение. Кривая х называется условной экстремалью функционала действия
если дифференциал 6Ф = 0 при условии, что для сравнения берутся близкие кривые *), соединяющие эс0 с X1 на М. Мы будем писать
бмФ = 0. (1)
Очевидно, уравнение (1) эквивалентно уравнениям Лагранжа d dL dL г ж2 тт/ \ і \
-dT-W = ~oT' L = — -U(x), x=x(g), в каждой локальной системе координат q на М.
*) Строго говоря, чтобы определить вариацию 6Ф, нужно определить *труктуру области линейного пространства в множестве близких к х кривых в* М. Это можно сделать при помощи координат на M; причем свойство быть Условной экстремалью от выбора системы координат не зависит.
86 ГЛ. 4. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА НА МНОГООБРАЗИЯХ
Теорема. Чтобы кривая ж: R —>¦ M CZ R^ была условной экстремалью действия (т. е. удовлетворяла уравнению (1)), необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла уравнению Да-ламбера
(A+-u-'*)=°. v^™*
(2)
Лемма торное поле.
Пусть /: {t: t0 <^ t <I ^1} -»- RN — непрерывное век-Если для каждого непрерывного касательного к M векторного поля | вдоль ж (Е; (t) ЄЕ TMx(V, ? (t) обращается в 0 при t = t0, tj), имеем
«і
lf{t)Ut)dt = %
U
то поле f (t) в каждой точке ж (t) перпен дикулярно поверхности M (т. е. (/ (t), Ji) = 0 для каждого вектора Ji Є TMx(t)) (рис. 72). Доказательство леммы повторяет рассуждения, с помощью которых выводились уравнения Эйлера — Лагранжа в § 12.
Доказательство теоремы. Сравним значения Ф на двух кривых ж (/) и ж (t) + ? (t), | (t0) = % (tx) = 0. Получим, интегрируя по частям:
«•-!(*-?•«)*--|(*+-?-)е*.
Рис. 72. Лемма о нормальном поле
Из этой формулы видно *), что уравнение (1) 8м Ф = 0 эквивалентно совокупности уравнений
І(* + -ЇГ)«Л-0 <3>
для всех касательных векторных полей ? (t) є= TMX(t), 1 (J0) = = ? (*i) = 0- По лемме ^где надо положить / = ж + сово-
купность уравнений (3) эквивалентна уравнению Даламбера — Лагранжа (2), ч. т. д. Г. Замечания.
