Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Следствие. Пусть одно из собственных чисел (3) положительно: K = о2 ^> 0. Тогда система (1) может совершать периодическое колебание вида
q (t) = (C1 cos at + C2 sin bit) I, (5)
где I — соответствующий К собственный вектор (рис. 78):
Bl = КА%.
Это колебание — произведение одномерно- Рис- 78коде^^яННЫе
ГО ДВИЖенИЯ Qi = C1 COS bi{t -f- C2 Sin bi(t и
тривиальных движений Q1 = 0 (j Ф і).
Определение. Периодическое движение (5) называется собственным колебанием системы (1), а число со называется собственной частотой.
Замечание. Собственные колебания и частоты называют также главными или нормальными. Неположительным К также соответствуют собственные векторы; соответствующие движения Для краткости мы тоже будем называть «собственными колебаниями», хотя они и не периодичны; соответствующие «собственные частоты» мнимые.
Задача. Доказать, что число линейно независимых настоящих собственных колебаний равно положительному индексу инер-
Ции потенциальной энергии ~^-(Bq, q).
Теперь результат можно сформулировать так:
96
ГЛ. 5. КОЛЕБАНИЯ
Теорема. Система (1) имеет п собственных колебаний, направления которых попарно ортогональны в смысле скалярного произведения, заданного кинетической энергией Т.
Действительно, система координат Q в силу (2) ортогональна в смысле скалярного квадрата {Aq, q).
В. Разложение по собственным колебаниям. Из доказанной теоремы вытекает
Следствие. Всякое малое колебание есть сумма собственных колебаний.
Сумма собственных колебаний, вообще говоря, не периодична (вспомним фигуры Лиссажу).
Для разложения движения в сумму собственных колебаний достаточно спроектировать начальные условия q, q на собственные направления |г- и решить соответствующие одномерные задачи (4).
Итак, уравнения Лагранжа для системы (1) можно решать следующим образом. Вначале ищем собственные колебания в виде q = еш%. Подставляя это в уравнения Лагранжа
-W^q = Bq,
находим
(В — (02A) | = 0.
Из характеристического уравнения (3) 'находим п собственных чисел u>V Им соответствуют п попарно ортогональных собственных векторов Общее решение в случае 1K Ф 0 имеет вид
q (f) = Re 2 Ckeia*%. it=i
Замечание. Этот результат справедлив и тогда, когда среди собственных чисел Я есть кратные.
Таким образом, в лагранжевой системе, в отличие от общей системы линейных дифференциальных уравнений, резонансные //'-у//////',///'// члены вида t sin at и т. п. не возникают
ftг {/'/('ff/fei'f/f/rt „ ^
\ |\ даже в случае кратных собственных чисел.
^ \ ?f\ Г. Примеры.
\_-nmm_\ Пример 1. Рассмотрим систему из двух оди-
\5 О і 9 011 і \. наковых математических маятников длин I1 = I2 = I, щ W масс Ui1 = TtI2 = 1 в поле тяготения с g = 1.
Пусть маятники соединены невесомой пружиной, Рис. 79. связанные оди- длина которой равна расстоянию между точкам наковые маятники ПОдВеса (рис. 79). Обозначим через 5l, q2 углы откло-
\
нения маятников. Тогда для малых колебаний T =-^-(i\-\-ч\), U =
= ~2 (Q1 + З* + о (Зі — Зг)2), где -g" (gi— дг)2 — потенциальная энергия упругости пружины. Положим
Qi =
51+32 п 5г — і
/2 У"2
§ 23. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
!»7
Тогда
y2 • q2~ tf2 и обе формы приведены к главным осям: 1 . 1
где Q)1 = 1, Q)2 = 1^1 + 2а (рис. 80). Итак, два собственных колебания следующие (рис. 81):
1) Q2 = 0, i.e. 5i = 5»: °ба маятника движутся сігефазно с прежней
частотой 1, пружина не работает,
2) Q1 = 0, т. е. qx = —q2. маятники движутся в противофазе с увеличившейся благодаря ДеЙСТВИЮ ПруЖИНЫ ЧаСТОТОй Q)2 > 1.
VT-+2«
Рис. 80. Конфигурационное пространство связанных маятников
Рис. 81. Собственные колебания связанных маятников
Пусть теперь пружина очень слаба: а <^ 1. Тогда появляется интересный эффект перекачки энергии.
П р и м е р 2. Пусть в начальный момент маятники покоятся, и одному йз них сообщена скорость O1 = v. Показать, что через некоторое время T первый маятник будет почти неподвижен, а вся энергия перейдет второму.
Из начальных условий следует Q1 (0) = Q2 (0) = 0. Поэтому Q1 =
= C1 sin f, Q2 = с2 sin o>t, Q) = lAl + 2а « 1 + а (а <^ 1). Но Oi (0) —
= CMO)
V I 1 \
<7i = ~2~ I sin t + — sin o>t I,
V I . 1 . \
52 = ~2" \ sin ' — 717 sin / •
или, пренебрегая слагаемым v[%—— ^ sin cot,
C2--
; и наше решение имеет вид
лым вместе с а
<7i ~ ~2 (sin і -J- sin cci) = і? cos et sin Cu't,
Q2-
e =
"2- (sin I — sin cot) = — V cos cu'i sin et,
a
~2'
CO+ 1
Рис. 82. Биения: траектория в конфигурационном пространстве
Величина е ~ -у- мала вместе с а, поэтому дг испытывает колебания частоты ш'аі с медленно меняющейся амплитудой i?coa et (рис. 82).
98
ГЛ. 5. КОЛЕБАНИЯ
Через время T ~ "2^" A ¦^- будет колебаться практически один второй маятник, через 2Т — опять один первый и т. д. («биения») (рис. 83).
Рис. 83. Биения Рис. 84. Связанные
