Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 30

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 195 >> Следующая


Определение. Лагранжева система (M, L) допускает отображение h, если для любого касательного вектора v ЄЕ TM

L (M) = L (v).

Пример. Пусть M = {(X1, х2, Xs)}, L = -гг~г"*2 + *s)—

— U (х2, х3). Система допускает сдвиг h: (хх, х2, X3) —» (X1 + s, х2, xs) вдоль оси X1 и не допускает, вообще говоря, сдвигов вдоль оси X2.

Теорема Нётер. Если система (M, L) допускает одно-параметрическую группу диффеоморфизмов h": M -*¦ М, s €= R, h° — Е, то соответствующая L система уравнений Лагранжа имеет первый интеграл Г. TM —v R.

В локальных координатах q на M интеграл I записывается в виде

Б. Доказательство. Пусть сначала M = Rn — координатное пространство. Пусть <р: R -*- М, q = <р (І) — решение уравнений Лагранжа. Так как ft* сохраняет L, то сдвиг решения^ /i"oq>: R -»-

82

ГЛ. 4. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА НА МНОГООБРАЗИЯХ

—г- M при любом s также удовлетворяет уравнениям Лагранжа *). Рассмотрим отображение Ф: R X R R", q = Ф (s, i) =

= п* (ф W) (рис- 7°)-

Будем обозначать производные по t точками, а по s штрихами.

По условию

-/7 W)

їі*Ф где частные производные L взяты в

hSl4) точке q = Ф (s, t), q = Ф (s, f).

Как мы подчеркнули выше, при любом фиксированном значении s отобра-R" удовлетворяет уравнению Лагранжа

s,

Введем обозначение F (s, t) = (Ф (s, t), Ф (s, Z)) и подставим

(Ф (*, о, Ф (», *))] = -?- (ф (*.Ф (*. *))•

эбозначение F (s, dFjdt в (1) вместо dL/dq.

Записывая q' в виде -J— q', находим n i d dL\ , , dL ( d a d i dL а

dl

ч. т. д.

dt

Замечание. Первый интеграл I = определен вы-

ше с помощью локальных координат q. Оказывается, величина I (v) не зависит от выбора координатной системы q.

Действительно, / есть скорость изменения L (v), когда вектор

v ЄЕ TMx меняется внутри TMx со скоростью I hsx. Итак,

as |s=o

/ (v) есть корректно определенная в целом функция касательного вектора v ЄЕ TMx. Тем самым теорема Нётер доказана и в случае, когда M — многообразие. В. Примеры.

Пример 1. Рассмотрим систему материальных точек с массами mf:

L = ті —2--U (эс), 3Cj = Xi1B1 -j- Xi2B2 -(- xi3e3,

стесненную связями jj (ос) = 0. Предположим, что система допускает сдвиги вдоль оси ег:

hs: X1 Xi + Se1 при всех і.

*) Авторы некоторых учебников ошибочно утверждают, что верно и обратное, т. е. если hs переводит решения в решения, то h% сохраняет L.

§ 20. ТЕОРЕМА НЁТЕР

83

Иными словами, связи допускают движение системы как целого вдоль оси ег, и потенциальная энергия при этом не меняется. Из теоремы Нётер заключаем:

Если система допускает сдвиги вдоль оси ег, то проекция ее центра инерции на ось ег движется прямолинейно и равномерно.

Действительно, —г— hsXi= е,. Согласно замечанию в кон-

us |s=0

це пункта Б, сохраняется величина

7^ z-it-^=i]™^

т. е. первая компонента P1 вектора импульса. Для систем без связей мы это уже доказывали раньше.

Пример 2. Если система допускает вращения вокруг оси P1, то сохраняется кинетический момент относительно этой оси

M1 = S (1*?. гтііхі], ег).

г

Действительно, легко проверить, что если hs—поворот вокруг оси ег на угол S, то -J- js=o Ji11X1 = Ie1, X1], откуда I = У^-^г Ie1, X1] =

_ _ і *

= (miXi, Ie1, X1]) = JT ([3Cj, тфсг\, ех).

і і

Задача 1. Пусть частица движется в поле однородной винтовой линии X = cos ф, у = sin ф, z = сф. Найти соответствующий этой винтовой симметрии закон сохранения.

Ответ. В любой системе, допускающей винтовые движения, оставляющие на месте нашу винтовую линию, сохраняется величина / = сР3 + M3.

Задача 2. Пусть твердое тело движется по инерции. Доказать, что его центр инерции движется прямолинейно и равномерно. Если центр инерции покоится, то кинетический момент относительно него сохраняется.

Задача 3. Какие величины сохраняются при движении тяжелого твердого тела, закрепленного в некоторой точке О? В частности, если тело симметрично относительно проходящей через О оси?

Задача 4. Распространить теорему Нётер на неавтономные лагран-жены системы.I

Указание. Пусть M1 = Af X R — расширенное конфигурационное многообразие (прямое произведение конфигурационного многообразия M на ось времени R).

Определим функцию L1'. TM1 —* R как L dtldx, т. е. в локальных координатах ?, t на M1 зададим ее формулой

/ dq dt \ I dq I dt \ dt

Применим теорему Нётер к лагранжевой системе (M1, L1).

Если L1 допускает преобразования hs: M1 —» M1, то мы найдем первый

интеграл I1. TM1 -* R. Поскольку ^ Ldt = ^ Ltdx, это приводит к первому

интегралу /: TM х R —> R исходной системы. Если в локальных коорди-

/ dq dt \

ватах (q, і) на; M1 имеем/і = h\Q, 1>~йЧ~ >~fc )• '0^(0.«.*) = 7I (?. '» в.

84

ГЛ. 4. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА HA МНОГООБРАЗИЯХ

В частности, если L не зависит явно от времени, то L1 допускает сдвиги по времени hs (q, t) = (q, t + s). Соответствующий первый интеграл / есть интеграл энергии.

§ 21. Принцип Даламбера
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed