Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Граница устойчивости дается уравнением | tr А | = 2.
Теорема. Все точки оси со, исключая целые и полу целые точки со = kl2, k = 0, 1, 2, . . ., соответствуют сильно устойчивым системам (4).
Таким образом, множество неустойчивых систем может подходить к оси со только в точках со = к/2. Иными словами, раскачать качели малым периодическим изменением длины можно лишь в том случае, когда один период изменения длины близок к целому числу полупериодов собственных колебаний,— результат, всем известный из эксперимента.
Доказательство сформулированной теоремы основано на том, что при е = 0 уравнение (4) имеет постоянные коэффициенты и явно решается
Задача. Вычислить для системы (4) с е = 0 матрицу преобразования А за период T ~ 2л в базисе х, х.
Решение. Общее решение: х = C1 cos at + с% sin cof. Частное решение с начальным условием ? = 1, х = 0: х = cos tor, X = — со sin at. Частное решение с начальным условием х = 0, I
Я = 1: X = — sin at, t =¦ cos (at. со '
Ответ. A-
1
cos 2ясо —— sin 2лсо
0)
— со sin 2лса cos 2ло)
*) В случае a (t) = cos t уравнение (4) называется уравнением Матъе.
§ 25. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС
107
Поэтому
I tr A I = I 2 cos 2ші I < 2,
если © Ф к/2, к = 0, 1, . . ., и теорема вытекает из предыдущего следствия.
Более внимательный анализ *) показывает, что вообще говоря, (и при a (t) = cos t) вблизи точек со = к/2, к = 1, 2, . . ., область неустойчивости (заштрихованная на рис. 99) действительно подходит к оси со.
Таким образом, при озхк/2, к =1,2, . . ., нижнее положение равновесия идеализированных качелей (4) неустойчиво и они раскачиваются при сколь угодно малом периодическом изменении длины. Это явление называется параметрическим резонансом. Характерной особенностью параметрического резонанса является то, что он сильнее всего проявляется в случае, когда частота изменения параметров v (в уравнении (4) v = 1) вдвое больше собственной частоты со.
Замечание. Теоретически параметрический резонанс наблюдается при бесконечном наборе соотношений co/v /с/2, k = 1, 2, . . . Практически наблюдаемы обычно лишь случаи, когда к невелико (к = 1, 2, реже 3). Дело в том, что
а) При больших к область неустойчивости подходит к оси со узким языком и для резонансной частоты « получаются очень жесткие пределы (—Ек для a (t) = cos t; если а — тригонометрический полином степени d, то -—ет, где т = —[—k/d] — наименьшее целое число, не меньшее k/d; если а в (4) — аналитическая функция общего положения, то ширина к-й резонансной области порядка евк, где | 6 | < 1. См., например: Арнольд В. И. Замечания о теории возмущений для задач
типа Матье // УМН.— 1983.— Т. 38, № 4. «л - С. 89-203).
б) Сама неустойчивость слабо выражена при больших к, так как | tr А | — 2 невелик и собственные числа близки к единице при больших к.
в) Сколь угодно малое трение приводит к тому, что для возникновения параметри- Рис 100 Влшшве тре_
чеСКОГО резонанса Имеется МИНИМаЛЬНОе ния на параметрический Значение аМПЛИТуДЫ Єк (при менЬШИХ Є резонанс
колебания затухают). С ростом к єк быстро растет (рис. 100).
Заметим также, что для уравнений (4) в неустойчивом случае величина X растет неограниченно.
В реальных системах колебания достигают лишь конечной амплитуды, так как при больших х само линеаризованное уравнение (4) теряет силу и нужно учитывать нелинейные эффекты.
*) См., например, разобранную ниже задачу.
108
ГЛ. 5. КОЛЕБАНИЯ
Задача. Найти вид областей устойчивости на плоскости е, <а для системы, описываемой уравнением
—ж*)*, /W=ic0I6, „5^2n.
е<1,
- ^ — -I
/(* + 2л) =/(<)•
Решение. Из решения предыдущей задачи следует, что А = •A2Zl1,
где
-S1
Поэтому граница зоны устойчивости имеет уравнение
|trA|=|2ciC2-(-g- + -g-)nS2| = 2. fc>i to + є
Так как е <«? 1, имеем -тг-= —-Введем ооозначение
(O2 ~ (O1 V ^ '
(5)
Тогда, как легко сосчитать, А
2є2
юї + О (є*) Пользуясь соотношениями
2C1C2 = cos 2яе -f - cos 2я€о, 2^1S2 = cos 2яе— — cos 2яа>, перепишем уравнение (5) в виде
— A cos 2яе + (2 A) cos 2яю = ±2, или
Рис. 101. Зоны параметрического резонанса для / = <а ± е
COS 2лю :
cos 2jwu =
2 -f- A cos 2яг 2+"A •
— 2 -f- A cos 2ле 2+"д
(6i) (6i)
В первом случае cos 2яо> ж 1. Поэтому положим
to = k + а, I а I 1; cos 2п<а = cos 2яв = 1 — 2я2а2 + О (а4).
А
Перепишем уравнение (6г) в віще cos 2гвд = 1 — 2+~AT ^ — cos 2пє) яли 2я2а2 -f О (а4) = Дя%2 + О (е4).
2s2
Подставляя значение Д = ^2 -}- О (е4), находим
а = ±-^-+о(е2), т.е. co = ft±-^ + o(e2)). Аналогично решается уравнение (62); в результате получаем
со = A: -f- -к- •
я(* + -2")
Итак, ответ имеет вид, изображенный на ряс. 101.
§ 25. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС
109
Д. Устойчивость перевернутого маятника с вертикально колеблющейся точкой подвеса.
Задача. Может ли верхнее, обычно неустойчивое, положение равновесия маятника стать устойчивым, если точка подвеса колеблется в вертикальном направлении (рис. 102)?
