Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Т = У^,^a(Q)jiji-
3. Составить функцию Лагранжа L = T — U (q) и решать уравнение Лагранжа.
Пример. Рассмотрим движение материальной точки массы 1 по поверхности вращения в трехмерном пространстве. Можно показать, что орбиты суть геодезические на поверхности. В цилиндрических координатах г, ф, z поверхность задается (локально) в виде г = г (z) или z = z (г). Соответственно кинетическая энергия и..іеет вид (рис. 66)
1 1
T = ~y (і2 + у2 + z2) = ~y [(1 + гг2) і2 + г2 (г) ф2] в координатах ф, г;
1 ,9
= ~2~ [(1 + zr) f2-\- г2ф2] в координатах г, ф.
Использовано соотношение $2 + у2 = f2 + г2ф2.)
Функция Лагранжа L = Т. В обеих системах координат ф — циклическая координата. Соответствующий импульс сохраняется; рф = г2ф — не что иное, как z-компонента момента количества движения. Так как система имеет две степени свободы, знания циклической координаты ф достаточно, чтобы проинтегрировать задачу до конца (см. следствие 3 § 15, стр. 64).
Рис. 66. Поверхность вра- Рис. 67. Геодезические на
щения поверхности вращения
Ясное представление о виде орбит проще получить, рассуждая немного по-другому. Обозначим через а угол орбиты с меридианом. Имеем: гф = = J V I sin а, где I V I — величина вектора скорости (рис. 66).
Но по закону сохранения энергии H = L=T сохраняется. Следовательно, |«| = const. Поэтому закон сохранения принимает вид
г sin a = const
(«теорема Клеро»).
Это соотношение показывает, что движение происходит в области | sin а | < < 1, т. е. г > r0 sin а0. Кроме того, наклон орбиты к меридиану увеличивается при уменьшении радиуса г. Достигнув наименьшего возможного г = r0 sin CC0, орбита отражается и возвращается в область с большим г (рис. 67).
Задача. Доказать, что все геодезические на нарисованной поверхности вращения делятся на три класса: меридианы, замкнутые кривые, и геодезические, всюду плотные в кольце г ^ с.
Задача. Исследовать поведение геодезических на поверхности тора ((г— R)2 + z2 = р2).
80
ГЛ. 4. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА HA МНОГООБРАЗИЯХ
Д. Неавтономные системы. Лагранжева неавтономная система отличается от автономной, которую мы рассматривали до сих пор, дополнительной зависимостью функции Лагранжа от времени:
L: TM X R -V R, L = L (д, д, t).
В частности, в неавтономной натуральной системе от времени может зависеть как кинетическая, так и потенциальная энергия:
Т: TM xR->R,
U: IxR->R, U= U{g, t).
T=T(Q, q, t),
Система n материальных точек, стесненных голономными связями, зависящими от времени, определяется при помощи меняющегося со временем подмногообразия конфигурационного пространства свободной системы. Такое многообразие задается отображением
i: M X R-^ Esn, i(q,t) = x,
которое при каждом фиксированном JGR определяет вложение M -*- Е?п. Рецепт п. Г остается в силе для неавтономных систем.
Пример. Движение бусинки по вертикальной окружности радиуса г (рис. 68), вращающейся с угловой скоростью to вокруг вертикальной оси, проходящей через центр О окружности. Многообразие M — окружность.
Обозначим через q угловую координату на окружности, отсчитываемую от верхней точки.
Пусть х, у, z — декартовы координаты BE8C началом О и вертикальной осью z. Пусть ф — угол плоскости окружности с плоскостью xOz. По условию ф = (at. Отображение i: M х R —» -Б3 задается формулой
і (q, t) = (г sin q cos Ш, r sin q sin (at, r cos q).
""**~Из~этой формулы (а проще — из «прямоугольного бесконечно малого треугольника») находим Рис. 68. Бусинка на вращающейся окруж- т
ности1 T = —к- (to2/-2 sin* q + г2 і2), U = mgr, os q.
На наше счастье функция Лагранжа L=T — U оказалась не зависящей от *, хотя связь и зависит от времени. Кроме того, функция Лагранжа оказалась такой же, как в одномерной системе с кинетической энергией
M
Го = "
M = тг2.
и с потенциальной энергией
V = A cos q — В sin* q, A = mgr, В = и2г*.
Вид фазового портрета зависит от соотношения между А и В. При 2В < А (т. е. при таком медленном вращении окружности, что и*г < g) нижнее положение бусинки (q = я) устойчиво и характер движения в общем такой же. как в случае математического маятника (w = 0).
$ 20. ТЕОРЕМА НЁТЕР
81
При 2В ¦> А, т. е. при достаточно быстром вращении окружности, нижнее положение бусинки становится неустойчивым, зато появляются два устой-
Vk
Рис. 69. Эффективная потенциальная энергия и фазовая плоскость бусинки
A g
чивых положения бусинки на окружности, cos q = — ~2? = — ~r$z • Поведение бусинки при всевозможных начальных условиях ясно из вида фазовых кривых на плоскости д, q (рис. 69).
§ 20. Теорема Нётер
Различные законы сохранения (импульса, момента и т. д.) являются частными случаями одной общей теоремы: всякой однопараметрической группе диффеоморфизмов конфигурационного многообразия лагранжевой системы, сохраняющих функцию Лагранжа, соответствует первый интеграл уравнений движения.
А. Формулировка теоремы. Пусть M — гладкое многообразие, L: TM R — гладкая числовая функция на его касательном расслоении TM. Пусть h: M M — гладкое отображение.