Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Пусть длина маятника I, амплитуда колебаний точки подвеса а<^ I, период колебаний точки подвеса 2т, причем в течение каждого полупериода ускорение точки подвеса постоянно и равно ±с (тогда с = 8а/т2). Оказывается, при достаточно быстрых колебаниях подвеса (т <^ 1) верхнее положение равновесия становится устойчивым.
тра5ола
~2Т
Решение. Уравнение движения можно записать в виде х = (со2 -\- <Р) х (знак ме-
няется через время т), где ю2 = g/l, fr = eil. рис перевернутый Если колебания подвеса достаточно быстры, ятник с колеблющейся точ-
то с(2> <|У
8а
\
кой подвеса
Аналогично предыдущей задаче, А
A2A1, где
A1 =
ch йт
sh kr
k sh kr ch кх
А,=
1
cos Qr -Q- sin Qt — Q sin Qt cos Qt
fc2 = tf. -j- O3S1 Q2 = d2 _ ю2_
Условие устойчивости I tr A I <C 2 имеет поэтому вид
Ik Q \ In
2 ch kr cos сот -f- I-p---I sh kx sin сот < 2.
(7)
Покажем, что условие это выполнено при достаточно быстрых колебаниях точки подвеса, т. е. когда с ;5g> g. Введем безразмерные переменные е. F
Хогда
кг = 2 yfl є Vl + (j.2, Qt = 2 V2 є l/ 1 — (j,2, ft Q т /" 1 + (j,2 , /1 — us
Поэтому при малых є, и справедливы разложения с ошибкой о (е 4 + ц4)
2 8
ch кг = 1 + 4е2 (1 -f fx2) + -3-є4+..., cos Qr = 1 — 4є2 (1 — (j,2) +-3-е4 + . • •,
Ik Q \
[-q---?—J shftT sin Qt = 16 є2ц2 +..
110
ГЛ. 5. КОЛЕБАНИЯ
Итак, условие устойчивости (7) принимает вид
2 (1 — 16 є4 + -g-e* + 8eV + • • •) + 16є2Ца < 2,
2 е
т. е. пренебрегая малыми высшего порядка, -g- 16е4 ]> 32ц.%а или (J.<:pg ,
g а
или еще — <; -ду. Это условие можно переписать в виде
і
где N = "2^г — число колебаний точки подвеса в единицу времени. Например, если длина маятника I = 20 см, а амплитуда колебаний точки подвеса о=1 см, то
/"98O-¦ 2Q " • 20 a 43 (колебаний в секунду).
Например, верхнее положение устойчиво, если число колебаний подвеса в секунду больше 50.
Г Л А В А 6
ТВЕРДОЕ ТЕЛО
В этой главе подробно исследуется несколько весьма частных механических задач. Эти задачи включаются в курсы классической механики по традиции, основанной на том, что они решены Эйлером и Лагранжем, а также на том обстоятельстве, что мы живем в трехмерном евклидовом пространстве и большинство механических систем с конечным числом степеней свободы, с которыми приходится встречаться, состоит из твердых тел.
§ 26. Движение в подвижной системе координат
В этом параграфе определяется угловая скорость.
А. Подвижные системы координат. Рассмотрим лагранжеву систему, которая в координатах q, t описывается функцией Лагранжа L (q, q, t). Часто бывает полезно перейти к подвижной системе координат Q = Q (q, t).
Чтобы записать уравнения движения в подвижной системе, достаточно выразить через новые координаты функцию Лагранжа.
Теорема. Если траектория у: q = ср (t) уравнений Лагранжа —jjj- ^—- ~ ¦—^- записывается в локальных координатах Q, t (Q = = Q (q, t)), в виде у: Q = Ф (t), то функция Ф (t) удовлетворяет уравнениям Лагранжа -4т—^ ~ ~§77~» г^е L' (Q, Q,t) = L (q, q, t):
Доказательство. Траектория ¦y является экстремалью: 6^L (q, q, t) dt = 0. Следовательно, b\u (Q, Q, t) dt = 0 и Ф (t)
удовлетворяет уравнениям Лагранжа, ч. т. д.
Б. Движения, вращения, поступательные движения. Рассмотрим, в частности, важный случай, когда q — декартов радиус-вектор точки относительно инерциальной системы координат к (которую мы будем называть неподвижной), a Q — декартов радиус-вектор той же точки относительно подвижной системы координат К.
Определение. Пусть к, К — ориентированные линейные евклидовы пространства.
Движением К относительно к называется гладко зависящее от t отображение
D1 : К -> к,
сохраняющее метрику и ориентацию (рис. 103).
112
ГЛ. 6. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
Определение. Движение Dx называется вращением' если оно переводит начало координат К в начало координат А-, т. е. если Dx — линейный оператор.
Теорема. Всякое движение Dx однозначно разлагается в про-
изведение вращения Bx: К
-> к и сдвига Cx. Dx = CtBt,
r{t) = DtO, Bt = Cl1Df
где Ctq = q + г (t) (q, г Ez к).
Доказательство. Положим Тогда BtO = О, ч. т. д.
О п р е'д е л е н и е. Движение D1 называется поступательным, если соответствующее ему отображение Bt: К —> к от t не зависит: В, = B0 = В, D1Q = BQ + г (t).
Рис. 103. Движение Uj разлагается в произведение вращения В{ и сдвига Cf
Рис. 104. Радиус-вектор точки относительно неподвижной (в) и подвижной (Q) системы координат
Мы будем называть к неподвижной системой координат, К — подвижной, q (t) Efc — радиусом-вектором движущейся точки относительно неподвижной системы; Q (t) называется радиусом-вектором точки относительно подвижной системы, если (рис. 104)
q (t) = DtQ (t) = BtQ (t) + г (t). (1)
Предостережение. Вектор BtQ (t) є= к не следует путать с Q (t) Ez К — они лежат в разных пространствах!
В. Сложение скоростей. Выразим теперь «абсолютную скорость» q через относительное движение Q (t) и движение системы координат Dt. Из формулы (1) находим, дифференцируя по t, формулу сложения скоростей