Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 40

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 195 >> Следующая


Пусть длина маятника I, амплитуда колебаний точки подвеса а<^ I, период колебаний точки подвеса 2т, причем в течение каждого полупериода ускорение точки подвеса постоянно и равно ±с (тогда с = 8а/т2). Оказывается, при достаточно быстрых колебаниях подвеса (т <^ 1) верхнее положение равновесия становится устойчивым.

тра5ола

~2Т

Решение. Уравнение движения можно записать в виде х = (со2 -\- <Р) х (знак ме-

няется через время т), где ю2 = g/l, fr = eil. рис перевернутый Если колебания подвеса достаточно быстры, ятник с колеблющейся точ-

то с(2> <|У



\

кой подвеса

Аналогично предыдущей задаче, А

A2A1, где

A1 =

ch йт

sh kr

k sh kr ch кх

А,=

1

cos Qr -Q- sin Qt — Q sin Qt cos Qt

fc2 = tf. -j- O3S1 Q2 = d2 _ ю2_

Условие устойчивости I tr A I <C 2 имеет поэтому вид

Ik Q \ In

2 ch kr cos сот -f- I-p---I sh kx sin сот < 2.

(7)

Покажем, что условие это выполнено при достаточно быстрых колебаниях точки подвеса, т. е. когда с ;5g> g. Введем безразмерные переменные е. F

Хогда

кг = 2 yfl є Vl + (j.2, Qt = 2 V2 є l/ 1 — (j,2, ft Q т /" 1 + (j,2 , /1 — us

Поэтому при малых є, и справедливы разложения с ошибкой о (е 4 + ц4)

2 8

ch кг = 1 + 4е2 (1 -f fx2) + -3-є4+..., cos Qr = 1 — 4є2 (1 — (j,2) +-3-е4 + . • •,

Ik Q \

[-q---?—J shftT sin Qt = 16 є2ц2 +..

110

ГЛ. 5. КОЛЕБАНИЯ

Итак, условие устойчивости (7) принимает вид

2 (1 — 16 є4 + -g-e* + 8eV + • • •) + 16є2Ца < 2,

2 е

т. е. пренебрегая малыми высшего порядка, -g- 16е4 ]> 32ц.%а или (J.<:pg ,

g а

или еще — <; -ду. Это условие можно переписать в виде

і

где N = "2^г — число колебаний точки подвеса в единицу времени. Например, если длина маятника I = 20 см, а амплитуда колебаний точки подвеса о=1 см, то

/"98O-¦ 2Q " • 20 a 43 (колебаний в секунду).

Например, верхнее положение устойчиво, если число колебаний подвеса в секунду больше 50.

Г Л А В А 6

ТВЕРДОЕ ТЕЛО

В этой главе подробно исследуется несколько весьма частных механических задач. Эти задачи включаются в курсы классической механики по традиции, основанной на том, что они решены Эйлером и Лагранжем, а также на том обстоятельстве, что мы живем в трехмерном евклидовом пространстве и большинство механических систем с конечным числом степеней свободы, с которыми приходится встречаться, состоит из твердых тел.

§ 26. Движение в подвижной системе координат

В этом параграфе определяется угловая скорость.

А. Подвижные системы координат. Рассмотрим лагранжеву систему, которая в координатах q, t описывается функцией Лагранжа L (q, q, t). Часто бывает полезно перейти к подвижной системе координат Q = Q (q, t).

Чтобы записать уравнения движения в подвижной системе, достаточно выразить через новые координаты функцию Лагранжа.

Теорема. Если траектория у: q = ср (t) уравнений Лагранжа —jjj- ^—- ~ ¦—^- записывается в локальных координатах Q, t (Q = = Q (q, t)), в виде у: Q = Ф (t), то функция Ф (t) удовлетворяет уравнениям Лагранжа -4т—^ ~ ~§77~» г^е L' (Q, Q,t) = L (q, q, t):

Доказательство. Траектория ¦y является экстремалью: 6^L (q, q, t) dt = 0. Следовательно, b\u (Q, Q, t) dt = 0 и Ф (t)

удовлетворяет уравнениям Лагранжа, ч. т. д.

Б. Движения, вращения, поступательные движения. Рассмотрим, в частности, важный случай, когда q — декартов радиус-вектор точки относительно инерциальной системы координат к (которую мы будем называть неподвижной), a Q — декартов радиус-вектор той же точки относительно подвижной системы координат К.

Определение. Пусть к, К — ориентированные линейные евклидовы пространства.

Движением К относительно к называется гладко зависящее от t отображение

D1 : К -> к,

сохраняющее метрику и ориентацию (рис. 103).

112

ГЛ. 6. ТВЕРДОЕ ТЕЛО

Определение. Движение Dx называется вращением' если оно переводит начало координат К в начало координат А-, т. е. если Dx — линейный оператор.

Теорема. Всякое движение Dx однозначно разлагается в про-

изведение вращения Bx: К

-> к и сдвига Cx. Dx = CtBt,

r{t) = DtO, Bt = Cl1Df

где Ctq = q + г (t) (q, г Ez к).

Доказательство. Положим Тогда BtO = О, ч. т. д.

О п р е'д е л е н и е. Движение D1 называется поступательным, если соответствующее ему отображение Bt: К —> к от t не зависит: В, = B0 = В, D1Q = BQ + г (t).

Рис. 103. Движение Uj разлагается в произведение вращения В{ и сдвига Cf

Рис. 104. Радиус-вектор точки относительно неподвижной (в) и подвижной (Q) системы координат

Мы будем называть к неподвижной системой координат, К — подвижной, q (t) Efc — радиусом-вектором движущейся точки относительно неподвижной системы; Q (t) называется радиусом-вектором точки относительно подвижной системы, если (рис. 104)

q (t) = DtQ (t) = BtQ (t) + г (t). (1)

Предостережение. Вектор BtQ (t) є= к не следует путать с Q (t) Ez К — они лежат в разных пространствах!

В. Сложение скоростей. Выразим теперь «абсолютную скорость» q через относительное движение Q (t) и движение системы координат Dt. Из формулы (1) находим, дифференцируя по t, формулу сложения скоростей
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed