Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Теорема. Чтобы линеаризовать лагранжеву систему (2) в окрестности положения равновесия q = 0, достаточно заменить
кинетическую энергию T = -^- ai7- (q) {^3 ее значением при q =
= 0,
T2 = — JP ац(г(], ац — ац (0),
а потенциальную энергию U (q) — ее квадратичной частью
дЧ1
U2 = -|- JP ЬгjQWj» hj ¦¦
dq.dq
«=o
Доказательство. Приведем систему Лагранжа к виду (1), используя канонические переменные р, q:
*=~W' *~W* H(p,q) = T + U.
Так как р = q — 0 есть положение равновесия, то разложения праъых частей в ряд Тейлора в нуле начинаются с линейных по р, q членов. Так как правые части — частные производные, то эти линейные члены определяются квадратичными членами H2 разложения H (р, q). Но H2 есть в точности функция Гамильтона системы с лагранжианом L2 = Т? — U2, так как, очевидно, H2 =
§ 22. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
93
= T2 (р) -\-Uz (д). Итак, линеаризованные уравнения движения суть уравнения движения для описанной в теореме системы с L2 = T2 — U2, ч. т. д.
Прим ер. Рассмотрим систему с одной степенью свободы:
Пусть q = q0 = 0, mJ
dq2
T = -^-a{q)i\ U=U(q). — устойчивое положение равновесия: >0 (рис. 76).
dq
19=9.
Как мы знаем из фазового портрета, при близких к q = q0, р = 0 начальных условиях решение периодично, с периодом т, зависящим, вообще говоря, от начальных условий. Из предыдущих двух теорем вытекает
Следствие. Период % колебаний вблизи положения равновесия q0 стремится при уменьшении амплитуды колебаний к пределу Tn = -^- ,
где щ = — ,
а
1 d*U I
2 dq* I,=,.'
a = a (q0).
Рис. 76. Линеаризация
1
Действительно, для линеаризованной системы Т2 = -^-а(
U2 = feg2 (считаем q0 = 0).
уравнения Лагранжа
Решения
о 2л. q = —O0? имеют период T0 =-:
q = C1 cos CO0Z + C2 sin co0Z
при любой начальной амплитуде. Д. Малые колебания.
Определение. Движения в линеаризованной системе (L2 = T2 — U2) называются малыми колебаниями *) вблизи положения равновесия g = g0. В одномерной задаче числа т0, со0 называются периодом малых колебаний и частотой малых колебаний.
Пример. Найти период малых колебаний бусинки массы 1 на проволоке у = U (х) в поле тяжести Cg=I вблизи положения равновесия х = х0 (рис. 77).
Решение. Имеем
і і г /ос/ уп
*7 = mgy = U (х), Т=-^г* = -^[1+[-^-) J*2-
Рис.
77. Бусинка .3 нэ проволоке
*) В случае, когда положение равновесия неустойчиво, мы будем говорить о «неустойчивых малых колебаниях», хотя движение при этом и не имеет колебательного характера.
94
ГЛ. 5. КОЛЕБАНИЯ
Пусть х0 — устойчивое положение равновесия: axl* 25* Ix * Тогда частота малых колебаний ю определяется формулой
ы2 = ^-|«,'
1 1
ибо для линеаризованной системы T2 = ^q2, U2= ~2^q2(4 — х — *о)«
Задача. Показать, что не только малые колебания, но и все движение бусинки в точности эквивалентно движению в некоторой одномерной системе с функцией Лагранжа
L=J-q*-V(q).
Указание. Принять за q длину вдоль проволоки.
§ 23. Малые колебания
Здесь показано, что лагранжева система, совершающая малые колебания, распадается в прямое произведение систем с одной степенью свободы.
А. Задача о паре форм. Рассмотрим подробнее задачу о малых колебаниях. Иными словами, рассмотрим систему, у которой кинетическая и потенциальная энергия — квадратичные формы
T =-^-(Aq, q), U = ~(Bq,q), gGR", ?ER". (1)
Кинетическая энергия — положительно определенная форма.
Чтобы проинтегрировать уравнения Лагранжа, выберем разумным образом координаты.
Как известно из линейной алгебры, пару квадратичных форм (Aq, q), (Bq, q), первая из которых положительно определена, можно привести к главным осям единой линейной заменой координат *):
Q = Cq, Q - (Q1----, Qn).
При этом координаты Q можно выбрать так, что форма (Aq, q) приведется к сумме квадратов (Q, Q). Пусть Q — такие координаты; тогда, как так Q = Cq, имеем
г—г 2=1
Числа X1 называются собственными числами формы В относительно А.
*) Если угодно, можно ввести евклидову структуру, приняв первую форму за скалярный квадрат, и затем ортогональным в смысле этой евклидовой структуры преобразованием привести вторую форму к главным осям.
S 23. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
95
Задача. Докажите, что собственные числа В относительно А удовлетворяют характеристическому уравнению
det I В — KA | = 0, (3)
все корни которого, таким образом, вещественны (матрицы А и В симметричны, А ^> 0).
Б. Собственные колебания. В координатах Q система Лагранжа распадается на п независимых уравнений
Qt = -hQt- (4)
Итак, доказана
Теорема. Система, совершающая малые колебания, есть прямое произведение п одномерных систем, совершающих малые колебания.
Для каждой одномерной системы могут представиться три случая:
Случай 1. Я = со2 > 0; решение Q = C1 cos bit -J- C2 sin <at (колебания).
С л у ч а й 2. K= 0; решение Q = C1 + C2t (безразличное равновесие).
Случай. 3. X = —к2 < 0; решение Q = C1 ch kt -J- C2 sh kt (неустойчивость).
