Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 41

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 195 >> Следующая


q = BQ + BQ + г. (2)

Чтобы выяснить смысл входящих в (2) трех слагаемых, рассмотрим вначале частные случаи.

Случай поступательного движения (В = 0). В этом случае уравнение (2) дает q = BQ + г. Иначе говоря, доказана

Теорема. Если подвижная система К движется относительно к поступательно, то абсолютная скорость равна сумме относительной скорости и скорости движения системы К:

v = v' + v0, (3)

6 26. ДВИЖЕНИЕ В ПОДВИЖНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ ИЗ"'

где

v = q Ez к — абсолютная скорость,

v' = BQ Ez к — относительная скорость (не путать с Q ЄЕ Kl), V0 = Ї Ez к — скорость движения подвижной системы координат.

Г. Угловая скорость. В случае вращения системы К связь между относительной и абсолютной скоростями не столь проста. Рассмотрим сначала случай, когда наша точка покоится относительно К (т. е. Q = 0), а система координат К вращается (т. е. г = 0). В этом случае движение точки q (t) называется переносным вращением.

Пример. Вращение с постоянной угловой /" N скоростью a Elk. Пусть U (t): к-+к— поворот про- _>ь-*г-

странства к вокруг оси <й на угол Тогда ^

В (t) = U (t) В (0) называется равномерным вращени- \Ц ем К с угловой скоростью ю. \

Очевидно, в этом случае скорость переносного

движения ТОЧКИ q дается формулой (рис. 105) Угчовая^ско-

Вернемся теперь к общему случаю вращения К (г = 0, Q = Э .

Теорема. В каждый момент времени t существует вектор <й (t) Ez к, через который переносная скорость выражается по формуле

q = К q], Vg- ЕЕ к. (4)

Вектор <й называется мгновенной угловой скоростью; очевидно, он определен равенством (4) однозначно.

Следствие. Пусть твердое тело К вращается вокруг неподвижной точки О пространства к. Тогда в каждый момент времени существует мгновенная ось вращения — такая прямая в теле, проходящая через О, что скорости ее точек в данный момент равны 0. Скорости остальных точек перпендикулярны этой прямой и пропорциональны расстоянию до нее.

Мгновенная ось вращения в пространстве к задается своим вектором <й; в К соответствующий вектор обозначается через й = = В~1а Ez К; Q называется вектором угловой скорости в теле.

Пример. Угловая скорость Земли направлена от центра к Северно-

2л,

ну полюсу и равна ¦ ^qqq 24 с_1ж 7,3•1O-5 с-1.

Доказательство теоремы. Согласно (2) имеем

q = BQ.

Поэтому, если мы выразим Q через q, получим q = BB~xq = Aqr где А = ВВ~г : к-+ к — линейный оператор из к в к.

Лемма 1. Оператор А — кососимметрический: A' -f- А = 0-

114

ГЛ. 6. ТВЕРДОЕ ТЕЛО

Доказательство. Поскольку В : К к — ортогональный оператор из одного евклидова пространства в другое, его сопряженный совпадает с обратным, В' = В'1 : к-*- К. Дифференцируя по t соотношение BB' = Е, получаем

BB' + BB' = О, BB1 + (BB-1)' = 0, ч. т. д.

Лемма 2. Всякий кососимметрический оператор А в трехмерном ориентированном евклидовом пространстве есть оператор векторного умножения на фиксированный вектор:

Aq = [<й, q] для всех q ЄЕ BA

Доказательство. Все кососимметрические операторы В3 —*- В3 образуют линейное пространство. Размерность его равна 3, так как кососимметрическая 3x3 матрица определяется тремя своими наддиагональными элементами.

Оператор векторного умножения на со линеен и кососиммет-ричен. Операторы векторного умножения на всевозможные векторы трехмерного пространства <й образуют линейное подпространство пространства всех кососимметрических операторов.

Размерность этого подпространства равна 3. Поэтому подпространство, образованное векторными умножениями, совпадает с пространством всех кососимметрических операторов, ч. т. д.

Окончание доказательства теоремы. Согласно леммам 1, 2

q = Aq = [<o, q], ч. т. д.

В декартовых координатах оператор А задается кососиммет-рической матрицей; обозначим ее элементы через ±toll2,3:

А =

О — Ce8 (? (O3 0 — (Oi ¦ Ui2 (oi О

При таком обозначении элементов вектор со = (h^e1 + со2е2 + + Cu3C3 будет собственным с собственным значением 0. Применяя А к вектору q = ^1C1 + <ігег + g3e3, получаем непосредственной выкладкой

Aq = [<й, ?1.

Д. Переносная скорость. Случай чисто вращательного движения. Пусть теперь система К вращается (г = 0), а точка в системе К движется (Q Ф 0). Из (2) находим (рис. 106).

g = BQ + BQ = [Oi, q] + v'.

Иначе говоря, доказана

Теорема. Если подвижная система К вращается относительно OE= к, то абсолютная скорость равна сумме относительной

I 27. СИЛЫ ИНЕРЦИИ. СИЛА КОРИОЛИСА

115.

j

(5).

и переносной скоростей вращения:

V=V' +Vn,

где

v = q E= к — абсолютная скорость, v' = BQ Ez к — относительная скорость, Vn = BQ = [о, q]Ezk — переносная скорость вращения)

Наконец, общий случай можно свести к двум предыдущим, рассматривая вспомогательную подвижную систему K1, движущуюся поступательно относительно к и относительно которой К движется, вращаясь вокруг О ЕЕ K1. Можно также и из формулы (2) усмотреть, что

V = V' + Vn + V0,

где

V = q El к — абсолютная скорость,
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed