Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
q = BQ + BQ + г. (2)
Чтобы выяснить смысл входящих в (2) трех слагаемых, рассмотрим вначале частные случаи.
Случай поступательного движения (В = 0). В этом случае уравнение (2) дает q = BQ + г. Иначе говоря, доказана
Теорема. Если подвижная система К движется относительно к поступательно, то абсолютная скорость равна сумме относительной скорости и скорости движения системы К:
v = v' + v0, (3)
6 26. ДВИЖЕНИЕ В ПОДВИЖНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ ИЗ"'
где
v = q Ez к — абсолютная скорость,
v' = BQ Ez к — относительная скорость (не путать с Q ЄЕ Kl), V0 = Ї Ez к — скорость движения подвижной системы координат.
Г. Угловая скорость. В случае вращения системы К связь между относительной и абсолютной скоростями не столь проста. Рассмотрим сначала случай, когда наша точка покоится относительно К (т. е. Q = 0), а система координат К вращается (т. е. г = 0). В этом случае движение точки q (t) называется переносным вращением.
Пример. Вращение с постоянной угловой /" N скоростью a Elk. Пусть U (t): к-+к— поворот про- _>ь-*г-
странства к вокруг оси <й на угол Тогда ^
В (t) = U (t) В (0) называется равномерным вращени- \Ц ем К с угловой скоростью ю. \
Очевидно, в этом случае скорость переносного
движения ТОЧКИ q дается формулой (рис. 105) Угчовая^ско-
Вернемся теперь к общему случаю вращения К (г = 0, Q = Э .
Теорема. В каждый момент времени t существует вектор <й (t) Ez к, через который переносная скорость выражается по формуле
q = К q], Vg- ЕЕ к. (4)
Вектор <й называется мгновенной угловой скоростью; очевидно, он определен равенством (4) однозначно.
Следствие. Пусть твердое тело К вращается вокруг неподвижной точки О пространства к. Тогда в каждый момент времени существует мгновенная ось вращения — такая прямая в теле, проходящая через О, что скорости ее точек в данный момент равны 0. Скорости остальных точек перпендикулярны этой прямой и пропорциональны расстоянию до нее.
Мгновенная ось вращения в пространстве к задается своим вектором <й; в К соответствующий вектор обозначается через й = = В~1а Ez К; Q называется вектором угловой скорости в теле.
Пример. Угловая скорость Земли направлена от центра к Северно-
2л,
ну полюсу и равна ¦ ^qqq 24 с_1ж 7,3•1O-5 с-1.
Доказательство теоремы. Согласно (2) имеем
q = BQ.
Поэтому, если мы выразим Q через q, получим q = BB~xq = Aqr где А = ВВ~г : к-+ к — линейный оператор из к в к.
Лемма 1. Оператор А — кососимметрический: A' -f- А = 0-
114
ГЛ. 6. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
Доказательство. Поскольку В : К к — ортогональный оператор из одного евклидова пространства в другое, его сопряженный совпадает с обратным, В' = В'1 : к-*- К. Дифференцируя по t соотношение BB' = Е, получаем
BB' + BB' = О, BB1 + (BB-1)' = 0, ч. т. д.
Лемма 2. Всякий кососимметрический оператор А в трехмерном ориентированном евклидовом пространстве есть оператор векторного умножения на фиксированный вектор:
Aq = [<й, q] для всех q ЄЕ BA
Доказательство. Все кососимметрические операторы В3 —*- В3 образуют линейное пространство. Размерность его равна 3, так как кососимметрическая 3x3 матрица определяется тремя своими наддиагональными элементами.
Оператор векторного умножения на со линеен и кососиммет-ричен. Операторы векторного умножения на всевозможные векторы трехмерного пространства <й образуют линейное подпространство пространства всех кососимметрических операторов.
Размерность этого подпространства равна 3. Поэтому подпространство, образованное векторными умножениями, совпадает с пространством всех кососимметрических операторов, ч. т. д.
Окончание доказательства теоремы. Согласно леммам 1, 2
q = Aq = [<o, q], ч. т. д.
В декартовых координатах оператор А задается кососиммет-рической матрицей; обозначим ее элементы через ±toll2,3:
А =
О — Ce8 (? (O3 0 — (Oi ¦ Ui2 (oi О
При таком обозначении элементов вектор со = (h^e1 + со2е2 + + Cu3C3 будет собственным с собственным значением 0. Применяя А к вектору q = ^1C1 + <ігег + g3e3, получаем непосредственной выкладкой
Aq = [<й, ?1.
Д. Переносная скорость. Случай чисто вращательного движения. Пусть теперь система К вращается (г = 0), а точка в системе К движется (Q Ф 0). Из (2) находим (рис. 106).
g = BQ + BQ = [Oi, q] + v'.
Иначе говоря, доказана
Теорема. Если подвижная система К вращается относительно OE= к, то абсолютная скорость равна сумме относительной
I 27. СИЛЫ ИНЕРЦИИ. СИЛА КОРИОЛИСА
115.
j
(5).
и переносной скоростей вращения:
V=V' +Vn,
где
v = q E= к — абсолютная скорость, v' = BQ Ez к — относительная скорость, Vn = BQ = [о, q]Ezk — переносная скорость вращения)
Наконец, общий случай можно свести к двум предыдущим, рассматривая вспомогательную подвижную систему K1, движущуюся поступательно относительно к и относительно которой К движется, вращаясь вокруг О ЕЕ K1. Можно также и из формулы (2) усмотреть, что
V = V' + Vn + V0,
где
V = q El к — абсолютная скорость,