Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Задачи в задачниках подобраны |так, чтобы Н'/\р это затруднение не встречалось. _
Задача. Стержень веса Р, наклоненный к поверхности стола под углом 60°, начинает падать без на- реакции стола чальной скорости (рис. 74). Найти силу реакции стола и
в начальный момент, считая стол: а) абсолютно гладким, б) абсолютно шероховатым. (В первом случае голономная связь удерживает конец стержня на плоскости стола, а во втором — в данной точке.)
ГЛABА 5
КОЛЕБАНИЯ
Поскольку линейные уравнения легко решать и исследовать, теория линейных колебаний является самым разработанным отделом механики. Во многих нелинейных задачах линеаризация приводит к удовлетворительному приближенному решению. Даже когда это не так, исследование линеаризованной задачи часто является первым шагом при изучении соответствия движений нелинейной системы и ее линейной модели.
§ 22. Линеаризация
Здесь дано определение малых колебаний. А. Положения равновесия.
Определение. Точка ж0 называется положением равновесия системы
4г = /И» ^R", ъ (1)
если ж (t) = ж0 есть решение этой системы. Иными словами, / (хо) — О, т- в- в точке SC0 векторное поле / (ж) обращается в нуль. Пример. Рассмотрим натуральную динамическую систему
с функцией ЛагранжаХ(q, q) = T — U,T =-^- ац (я) 4i4j ^ О,
U = U (q)
d dL dL і . /ov
= -sr-, ff = (Qv - ¦ •. qr,)- (2)
dt dq dq
Уравнение Лагранжа можно записать в виде системы 2п уравнений первого порядка вида (1). Постараемся найти положения равновесия.
Теорема. Точка q = q0, q = q0 тогда и только тогда будет положением равновесия системы (2), когда q0 = 0, а точ-Ka^q0 — критическая точка потенциальной энергии, т. е.
= 0. (3)
dU dq
Доказательство. Запишем уравнения Лагранжа
d dT _ aT 6U dt dq ~ dq dq '
§ 22. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
91
дТ дТ
Из (2) видно, что при q = О будет -щ- = 0, -^-= 0. Поэтому
q = Q0 есть решение в случае (3) и только в этом случае, ч. т. д.
Б. Устойчивость положений равновесия. Займемся теперь исследованием движений при начальных условиях, близких к положению равновесия.
Теорема. Если точка q0 есть строгий локальный минимум потенциальной энергии U, то положение равновесия q = q0 устойчиво по Ляпунову.
Доказательство. Пусть U (q0) = ft. При достаточно малом є ^> 0 содержащая q0 связная компонента множества {q: U (q) <^ h + є} будет сколь угодно малой окрестностью точки Qo (рис 75). При этом связная компонента соответствующей области Ui
(дТ
импульс, E = T + U — полная энер- л гия) в фазовом пространстве р, q будет сколь угодно малой окрестностью точки р = 0, q = q0.
Но область {р, q: E+ є} инвариантна относительно фазового потока по закону сохранения энергии. Значит, Рис- 75- у™т1%?*олотеиие при достаточно близких к (0, q0) начальных условиях р (0), q (0) вся фазовая траектория р (t), q(t) близка к (0, q0), ч. т. д.
Задача. Может ли положение равновесия q = q0, р = 0 быть асимптотически устойчивым?
Задача. Докажите, что в аналитической системе с одной степенью свободы положение равновесия q0, не являющееся точкой строгого локального минимума потенциальной энергии, неустойчиво по Ляпунову. Приведите пример бесконечно дифференцируемой системы, где это не так.
Замечание. Кажется правдоподобным, что в аналитиче-кой системе с п степенями свободы положение равновесия, не являющееся точкой минимума, неустойчиво, но это не доказано.
В. Линеаризация дифференциального уравнения. Вернемся теперь к общей системе (1). При исследовании решений системы (1), близких к положению равновесия х0, часто пользуются линеаризацией. Предположим, что X0 = 0 (общий случай приводится к этому сдвигом системы координат). Тогда первый член ряда Тейлора / линейный:
f (X) = Ax+ Rtfr), ^ = -Йг|0. Rz = O(X*),
где линейный оператор А в координатах X1, . . ., хп задается матрицей ац:
(Ax)i = У, <bfcfi o1j=-^--j 3
92
ГЛ. 5. КОЛЕБАНИЯ
Определение. Переход от системы (1) к системе
¦^f=Ap (ХЄЕКП,У^ТК) (4)
называется линеаризацией системы (1).
Задача. Докажите, что линеаризация — корректно определенная операция: оператор А не зависит от системы координат.
Преимущество линеаризованной системы состоит в том, что она линейна и потому немедленно решается:
42/2
y(t) = eAty(0), где eA^E + At + JJ-+ ...
Зная решения линеаризованной системы (4), можно сказать кое-что о решениях исходной системы (1). При достаточно малых sc разница между линеаризованной и исходной системами B2 (sc) мала по сравнению с х. Поэтому в течение долгого времени решения у (t), X (t) обеих систем с начальным условием у (0) = ас (0) = = зс0 остаются близкими. Точнее, легко доказывается следующая
Теорема. Для любого Г>0 и для любого в ^> 0 найдется б ^> 0 такое, что если | х (0) | < б, то \ х (t) — у (t) | < еб для всех t из интервала 0 < / < Т.
Г. Линеаризация лагранжевой системы. Обратимся снова к лагранжевой системе (2) и постараемся ее линеаризовать в окрестности положения равновесия q = q0. Для упрощения формул выберем координаты так, чтобы q0 = 0.
