Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Пусть U — карта атласа M с координатами , . . ., qn. Тогда риманова метрика задается формулой
ds2 = 2 аа (Q) dQi dq,, а0- = aju
і, 3=1
Рис. 63. Риманова метрика
где dqi — координаты касательного вектора.
Функции ац (q), разумеется, предполагаются дифференцируемыми нужное число раз.
Е. Производная отображения. Пусть /: M N — отображение многообразия M в многообразие N. Отображение / называется дифференцируемым, если в локальных координатах на M
и на N оно задается дифференцируемыми функциями.
Определение. Производной дифференцируемого отображения /: M -*~ N в точке жеМ называется линейное отображение касательных пространств
/••: TM.-+ TNf(X),
Рис. 64. Производная отображения
которое задается следующим образом (рис. 64).
Пусть V Є TMx. Рассмотрим кривую <р: R ->¦ M, <р (0) = ас,
d4> — v. Тогда ftxv есть вектор
с вектором скорости
dt
§ 19. ЛАГРАНЖЕВА ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
77
скорости кривой /о(р: R ->¦ N,
/•^=4-L/(»(l»-
З а д а ч а. Докажите, что вектор j^xV зависит не от кривой «р, но лишь от вектора v.
Задача. Докажите, что отображение f^x: TMx —> TN ^ху линейное.
Задача. Пусть ж = (xt, . . ., хт) — координаты в окрестности точки X є М, а у = (^1, . . ., уп) — координаты в окрестности точки у є N. Пусть g — набор компонент вектора ?, a t) — набор компонент вектора f xv. Покажите, что
Объединяя отображения при всех ас, получаем единое отображение всего касательного расслоения
TM-+TN, = для VEzTMx.
Задача. Докажите, что /„ — дифференцируемое отображение. Задача. Пусть f: M —> N, g: N —» A, h = g ° f: M -* К. Докажите, что й„ = g* о /„.
§ 19. Лагранжева дашамическая система
В этом параграфе определяется лагранжева динамическая система на многообразии. Система с голономными связями является частным случаем.
А. Определение лагранжевой системы. Пусть M — дифференцируемое многообразие, TM — его касательное расслоение, L: TM -V R — дифференцируемая функция. Отображение у: R -> M называется движением в лагранжевой системе с конфигурационным многообразием M и функцией Лагранжа L, если у есть экстремаль функционала
ti
Ф(у) = I L(y)dt, и
где Y — вектор скорости, у {t) E-TMy(ty
Пример. Пусть M — область в координатном пространстве с координатами q = (?, . . ., qn). Функция Лагранжа L: TM —» R записывается в виде функции 2п координат L (q, q). Как доказано в § 12, изменение координат движущейся точки со временем удовлетворяет уравнениям Лагранжа.
Следствие. Изменение локальных координат q = = (дг, . . ., дп) точки у (г) при движении в лагранжевой системе на многообразии M удовлетворяет уравнениям Лагранжа
d dL _ dL
dt dq ~ dq 7
где L (q, q) — выражение функции L: TM -> R через координаты, q и q на TM.
78
ГЛ. 4. ЛАГРАНЖЕВА МЕХ НИКА НА МНОГООБРАЗИЯХ
Особенно часто встречается следующий частный случай.
Б. Натуральная система. Пусть M — риманово многообразие. Кинетической энергией называется квадратичная форма на каждом касательном пространстве
T=J-(v,v>, vi=TMx.
Потенциальной энергией называется дифференцируемая функция U: M-+ R.
Определение. Лагранжева система на римановом многообразии называется натуральной, если функция Лагранжа равна разности кинетической и потенциальной энер-iJf гий, L=T-U.
Пример. Рассмотрим две точки масс тг, т2, соединенные отрезком длины i на плоскости х, у. Тогда конфигурационное многообразие трех измерений
M = R2 X S1 С Ra X R2
Р™а Є5лоскоРти°К определяется в четырехмерном конфигурационном про-н пл сти странстве Ra X R2 двух свободных точек (X1, ух), (х2, у2) условием ^f(X1 — X2)2 + (уі — у2)2 = i (рис. 65). В касательном пространстве к четырехмерному пространству (хг, хг, уи уг) есть квадратичная форма
Wi (** + уі) + Tn2(Xl +
Наше трехмерное многообразие, как вложенное в четырехмерное, снабжается римановой метрикой. Полученная голономная система и называется в механике отрезком постоянной длины на плоскости х, у. Кинетическая энергия дается формулой
У - TH1-2- |- Tn2-2-•
В. Система с голономными связями. В § 17 мы определили систему материальных точек, стесненных голономными связями. Покажем, что эта система является натуральной.
Действительно, рассмотрим конфигурационное многообразие M системы со связями как вложенное в Зп-мерное конфигурационное пространство системы свободных точек. Метрику в Зп-мерном
71
пространстве зададим квадратичной формой 2j пц&Ь
Тогда соответствующая вложенному риманову многообразию M и потенциальной энергии U натуральная система совпадает с системой, определенной в § 17 или с предельным случаем системы с потенциалом U + Nql, N-+ оо, быстро растущим вне М.
Г. Рецепт решения задач со связями. 1. Найти конфигурационное многообразие и ввести в нем координаты Q1, . . ., д^ (в окрестности каждой точки, вообще говоря, свои).
§ 19. ЛАГРАНЖЕВА ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
79
2. Выразить кинетическую энергию?' = у -^-в виде квадратичной формы относительно обобщенных скоростей
