Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
однозначно, поэтому положение треугольника задается ортогональной матрицей третьего порядка с определителем 1.
Множество всех матриц третьего порядка есть девятимерное пространство R9. Шесть условий ортогональности выделяют два трехмерных связных многообразия матриц с определителем +1 и —1. Вращения трехмерного пространства (определитель +1) образуют группу, которая обозначается SO(3).
Таким образом, конфигурационное пространство треугольника OAB есть группа SO(3).
Задача. Показать, что многообразие SO(3) гомеоморфно трехмерному вещественному проективному пространству.
Определение. Размерность конфигурационного пространства называется числом степеней свободы.
П р и м е р 9. Рассмотрим систему из к шарнирио соединенных в замкнутую цепь стержней.
Задача. Сколько степеней свободы имеет эта система?
Пример 10. Вложенное многообразие. Говорят, что M есть вложенное в евклидово пространство Еп подмногообразие размерности к (рис. 61), если в окрестности U каждой точки XE=Mсуществуют п — к функцийZ1: // U -*- R, . . ., fn~it' U -V R таких, что пересечение окрестности UcM задается уравнениями ~ Z1 = 0, . . ., fn-k = 0, и векторы grad Z1, ... . . ., grad fn-к в X линейно независимы. Рис. 61. вложенное Легко ввести на M структуру многообразия^ подмногообразие т е координаты в окрестности ж (как?). Можно доказать, что всякое многообразие можно вложить в евклидово пространство.
В примере 8 SO(3) есть подмножество R9.
Задача. Доказать, что SO(3) вложено в R9 и тем самым проверить, что S0(3) — многообразие.
В. Касательное пространство. Если M — вложенное в Еп А;-мерное многообразие, то в каждой точке ж оно имеет /с-мерное касательное пространство TMx. А именно, TMx есть ортогональное дополнение к {grad Z1, . . ., grad Zn-к} (рис. 62). Векторы касательного пространства TMx с началом в ж называются касательными векторами к M в ж. Эти векторы можно определить и непосредственно, как векторы скорости кривых на М:
X=Um У<*)-*(°> , гдеф(0) = ж, q>(t)EEM.
Определение касательного вектора можно дать и во внутренних терминах, не обращаясь к вложению M в Еп.
S 18. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
75
Назовем две кривые ас = ср (Z), ас = чр (Z) на многообразии эквивалентными, если ср (0) = чр (0) = ас и Hm У® ^^ = О
на какой-нибудь карте. Тогда это же соотношение касания верно на любой карте (докажите!).
Определение. Касательным вектором к многообразию M в точке ас называется класс эквивалентности кривых ср (Z), ср (0) = ас.
Легко определить операции умножения касательного вектора на число и сложения касательных векторов. Множество касательных векторов к M в х образует линейное пространство TMx. Это пространство и называется касательным пространством к M в ас.
Для вложенных многообразий введенное определение совпадает с предыдущим. Но его преимущество в том, что оно годится и для абстрактных, никуда не вложенных многообразий M. Рис. 62. Касательное про-
Определение. ПуСТЬ U — карта странство
атласа M с координатами ^1, . . ., дп.
Тогда компонентами касательного ьектора к кривой д = ср (Z)
dep.
называются числа Ix,..., In, где |4 = —^-
Г. Касательное расслоение. Объединение касательных пространств к многообразию M в разных точках (J TMx имеет естест-
венную структуру дифференцируемого многообразия, размерность которого вдвое больше размерности М.
Это многообразие называется касательным расслоением многообразия M и обозначается TM. Точка TM — это вектор |, касающийся M в какой-нибудь точке ас. Локальные координаты на TM строятся следующим образом. Пусть Q1, . . ., дп — локальные координаты на многообразии М, I1, . . ., |„ — компоненты касательного вектора в этой системе координат. Тогда 2п чисел (?, . . ., дп, I1, . . ., In) задают на TM локальную систему координат.
Отображение р: ТМ-ь-М, сопоставляющее каждому касательному вектору I ту точку ас E= V, в которой вектор касается M (І E= TMa,), называется естественной проекцией. Прообраз точки ж E= M при естественной проекции, р'1 (х), есть касательное пространство TMx. Это пространство называется слоем расслоения над точкой х. Ш
Д. Риманово многообразие. Если M — вложенное в евклидово пространство многообразие, то метрика евклидова пространства позволяет измерять на M длины кривых, углы между векторами, объемы и т. п.
76
ГЛ. 4. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА HA МНОГООБРАЗИЯХ
Все эти величины выражаются через длину касательных векторов, т. е. через положительно определенную квадратичную форму, заданную на каждом касательном пространстве TMx (рис. 63):
ТМГ
R; і-<|,|>.
Например, длина кривой у на многообразии выражается через эту форму как J(Y)= ^ ~\f<,da;, <2а>>,или, если кривая задана параметрически:
«о
T- 1*о, h] ~» М, tж (*) є М,
то J (y) = ^ У<.х, ж> і
dt.
to
Определение. Дифференцируемое многообразие M с фиксированной положительно определенной квадратичной формой <?, ?> в каждом касательном пространстве TMx называется
римановым многообразием. Эта квадратичная форма называется римановой метрикой.
