Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
й2р (7,3-10-?)2.6,4•1O6 3 где она достигает —-—ж-g-g-~ 1OUO~ веса- Однако в
пределах лаборатории она меняется мало, и потому для ее наблюдения приходится путешествовать.
В соответствии со сказанным, в пределах лаборатории вращение Земли проявляется лишь в виде силы Кориолиса: в системе координат Q, связанной с Землей, с большой точностью
¦^rmQ = mg+2m[Q, Q]
(центробежная сила учтена в д).
Пример 1. Камень брошен (без начальной скорости) в шахту глубиной 250 м на широте Ленинграда (л = 60^. Насколько он отклонится от вертикали?
Решаем уравнение
последовательными (рис. 109)
Q = 0 + 2 [Q. Q] приближениями, учитывая, что ?<sgl.
Положим
Q = Qi+q2, где Q1(O) = O1(O) = O1 a Ci = Oi(O)+ -J
Для Q2 получим тогда
Q2 = 2[gt, Q]+ 0(02).
O2A-?-[er, Q];
2t
-3- [ft, Q],
2
118
ГЛ. 6. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
Отсюда видно, что камень отклоняется на Восток примерно на
2t 2-7 1
— \h I |O|cos^a:—j— . 250-7.10-5--2- м»4 см.
Задача. Насколько сила Кориолиса отклонит от падения обратно в жерло пущенный вертикально вверх в Ленинграде снаряд, если он поднялся на 1 км?
Пример 2. Маятник Фуко.
Рассмотрим малые колебания математического маятника с учетом силы Кориолиса. Пусть оси ех, еу, ez системы координат, связанной с Землей,
направлены: е2 — вверх, ех, еу — в горизонтальной плоскости (рис. 110). В приближении малых колебаний z=0 (по срав-
Рис. 109. Отклонение падающего камня силой Кориолиса
Рис. 110. Система координат для исследования движения маятника Фуко
нению с ?, у), поэтому горизонтальная составляющая силы Кориолиса будет 2myQzex — 2m??izey. Отсюда получаем уравнения движения
fx= — ti)2a: -J- 2yQz,
\ у = _ Ы2у — 2tQz <°г = I Й I sin гДе — широта).
Если положить X -{- iy = W, то w = і + iy, iv ~ X -f- iy, и два уравнения сводятся к одному комплексному
К> + i2Qzw + Ci)2w = 0.
Решаем его: w = еи, л2 + 2iQzK + со2 = 0, Я = — iQz ± і Vq\-{- со2. Но
й2 <^ со2. Поэтому V й2 + со2 = со + О (Qz), откуда, пренебрегая Q2,,
К ~ —Шг 4; іс0,
или, с той же точностью,
W = Є 1 (cjfi + cse *).
Рис. ill. Траек- tjp11 qz _ о получаются обычные гармонические
ТОрИЯ Фуко"™™13 колебания сферического маятника. Мы видим, что влияние силы Кориолиса приводит к вращению всей картины с угловой скоростью—Qz, где I Qx | = | О | sin Я0.
В частности, если начальные условия соответствуют плоскому движению (у (0) = у (0) = 0), то плоскость качаний будет поворачиваться с угловой скоростью — Qz относительно земной системы координат (рис. 111).
На полюсе плоскость качаний за сутки совершает один оборот (и неподвижна относительно не вращающейся с Землей системы координат). На широте Москвы (56°) за сутки плоскость качаний повернется на 0,83 оборота, т. е. за час — на 12,5°.
§ 28. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
119
Задача. Река течет со скоростью 3 км/ч. При каком радиусе кривизны излучины сила Кориолиса, происходящая от вращения Земли, больше центробежной силы, определяемой поворотом реки?
Ответ. Радиус кривизны должен быть не меньше величины порядка 10 км для рек средних широт.
Решение этой задачи «объясняет», почему большие реки Северного полушария (например, Волга в среднем течении) подмывают в основном правый берег, в то время как на реках типа Москвы-реки с их крутыми излучинами малого радиуса кривизны подмывается попеременно то левый, то правый (внешний по излучине) берег.
§ 28. Твердое тело
В этом параграфе определяются твердое тело и его тензор инерции, эллипсоид инерции, моменты инерции и оси инерции.
А. Конфигурационное многообразие твердого тела.
Определение. Твердым телом называется система материальных точек, стесненных голономной связью, выражающейся в том, что расстояния между точками постоянны:
I 3Cj — асу I = Ги — const. (1)
Теорема. Конфигурационное многообразие твердого тела есть шестимерное многообразие, а именно R3 X SO(3) (прямое произведение трехмерного пространства R3 и Єг группы SO(3) его вращений), если только в теле есть три точки не на одной прямой.
Доказательство. Пусть X1, X2 и XK3 — три точки тела, не лежащие на прямой. ^
Рассмотрим правый ортонормированный репер, /е у которого первый вектор направлен как X2 — 5 — X1, а второй — в сторону xs в плоскости X1, ?*0cHHOf- K^S^
ж2, X3 (риС. 112). Из УСЛОВИЙ I 5Cj — Xj I = Гі} зие твердого тела
(i = 1, 2, 3) следует, что положение всех точек тела однозначно определено положением X1, X2, х3, последнее же задано положением репера. Наконец, пространство реперов в R3 есть R3 X SO(3), так как каждый репер получается из фиксированного вращением и сдвигом *).
Задача. Найти конфигурационное пространство твердого тела, все точки которого лежат на прямой. Ответ: R3 X S2.
Определение. Твердое тело с неподвижной точкой О есть система материальных точек, стесненных, кроме связей (1), связью X1 = 0.
Очевидно, его конфигурационное многообразие — трехмерная группа вращений SO(3).
