Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Так как точка касания лежит на мгновенной оси вращения, ее скорость равна нулю. Значит, эллипсоид ВХЭ катится по я. без скольжения, ч. т. д.
Следствие. При близких к стационарному вращению вокруг большой (или малой) оси инерции начальных условиях угловая скорость остается всегда близкой к своему начальному положению не только в теле (fi), но и в пространстве (со).
Рассмотрим теперь траекторию точки касания на неподвижной плоскости л. Когда на эллипсоиде точка касания сделает полный оборот, начальные условия повторятся, с той лишь разницей, что тело повернется на некоторый угол а вокруг оси т.
Второй оборот будет в точности подобен первому; если а = 2л -^-,
движение в целом периодично, если же угол несоизмерим с 2л, то тело никогда не вернется в исходное состояние.
Точка касания заметает при этом на плоскости я всюду плотно кольцо с центром О' (рис. 123).
Задача. Докажите, что связные компоненты инвариантных двумерных многообразий V0 (§ 28, Б) в шестимерном пространстве rSO(3) — торы и на них можно выбрать координаты Cp1, ср2тосі2я так, чтобы Cp1 = CO1 (с), ф2 = со2 (с).
Указание. За Cp1 принять фазу периодического изменения М.
Рассмотрим важный частный случай, когда эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения:
Iz — Із Ф If
Рис. 122. Качение эллипсоида инерции по неподвижной плоскости
В этом случае ось эллипсоида, Btex, мгновенная ось вращения о и вектор т всегда лежат в одной плоскости. Углы между ними
g 30. ВОЛЧОК ЛАГРАНЖА
131
и величина вектора © сохраняются, точка касания описывает и на эллипсоиде, и на плоскости окружности; оси вращения (©) и симметрии (^e1) с одинаковой угловой скоростью описывают конусы вокруг вектора мо-
мента т (рис. 124).
Рис. 123. Траектория точки ка- Рис. 124. Качение эллипсоида
сания на неподвижной плоскости вращения по неподвижной пло-
скости
Ответ. Разложим вектор угловой скорости со по направлениям векторов момента т и оси тела B^e1. Первая компонента и даст угловую скорость прецессии соПр = MlI2.
Указание. Представить движение тела в виде произведения поворота вокруг оси момента и последующего поворота вокруг оси тела. Угловая скорость произведения обоих движений равна сумме векторов их угловых скоростей.
Замечание. Твердое тело, закрепленное в точке О, в отсутствие внешних сил, представляет собой лагранжеву систему, конфигурационным пространством которой является группа, а именно SO(3), причем функция Лагранжа инвариантна относительно левых сдвигов.
Можно показать, что значительная часть эйлеровой теории твердого тела использует только это обстоятельство, а потому сохраняет силу для произвольной левоинвариантной лагранжевой системы на произвольной группе Ли.
В частности, применяя эту теорию к группе диффеоморфизмов римано-вой области D, сохраняющих элемент объема, можно получить основные теоремы гидродинамики идеальной жидкости.
§ 30. Волчок Лагранжа
Здесь рассмотрено движение осесимметричного твердого тела, закрепленного в неподвижной точке, в однородном силовом поле. Движение это составляется из трех периодических процессов: вращения, прецессии и нутации.
А. Углы Эйлера. Рассмотрим твердое тело, закрепленное в неподвижной точке О и подверженное действию силы веса тд. Задача о движении такого «тяжелого твердого тела» в общем случае До сих пор не решена и в некотором смысле неразрешима.
В этой задаче с тремя степенями свободы известны лишь два
132
ГЛ. 6. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
V
і
Z0=IcDsO
tng"
WWMA
WW
0
WW/МЛ
Рис. 125. Волчок Лагранжа
первых интеграла: интеграл энергии E = T + U и проекция кинетического момента на вертикаль M2.
Есть важный частный случай, когда задачу можно полностью решить — случай симметричного волчка. Симметричным или ла-гранжевым волчком называют закрепленное в неподвижной точке О твердое тело, у которого эллипсоид инерции в О есть эллипсоид вращения и центр тяжести лежит на оси вращения е3 (рис. 125).
В этом случае поворот вокруг оси е3 не меняет функции Лагранжа, и по теореме Нётер должен существовать дополнительный к E и Mx первый интеграл (как мы увидим, им оказывается проекция M3 вектора момента на ось е3).
Если удастся ввести три координаты так, чтобы среди них были углы вращения вокруг оси z и вокруг оси волчка, то эти координаты будут циклическими, и задача с тремя степенями свободы сведется к задаче с одной степенью свободы (для третьей координаты).
Такой выбор координат в конфигурационном пространстве SO(3). возможен; эти координаты <р, ч|5, в называются углами Эйлера и образуют в SO(3) локальную систему координат, подобную географическим координатам на сфере: с особенностями у полюсов и многозначностью на одном меридиане.
Введем следующие обозначения (рис. 126):
ех, еу, е7 — орты правой декартовой неподвижной системы координат в неподвижной точке О.
вц ег» ез — орты связанной с телом правой подвижной системы координат, направленные по осям инерции тела в О. I1 = I2 Ф I3 — моменты инерции тела в точке О. e.v — орт оси Ie2, е3], называемой «линия узлов». (Все векторы — в «неподвижном пространстве» А:.)
