Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Это периодическое изменение наклона называется нутацией.
Рассмотрим теперь движение оси волчка по азимуту. Точка пересечения оси с единичной сферой движется в кольце между параллелями Q1 и 62. При этом изменение азимута оси определяется
136
ГЛ. 6. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
уравнением
Если корень и' уравнения о = Ъи лежит вне (щ, U2), то угол ¦4> меняется монотонно и ось чертит на единичной сфере кривую ¦типа синусоиды (рис. 128, о).
Если корень и' уравнения о = Ъи лежит внутри (щ, ы2), то ¦скорости изменения ф на параллелях B1 и B2 противоположны, и ось чертит на сфере кривую с петлями (рис. 128, б).
Если же корень и' уравнения а = Ъи лежит на краю (скажем, и' = и2), то ось чертит кривую с остриями (рис. 128, в).
а>ис. 127. График! функции /(и) Рис. 128. След оси волчка на единичной сфере
Последний случай, хотя и исключительный, наблюдается всякий раз, когда мы отпускаем ось запущенного с наклоном 62 волчка без начальной скорости: волчок сперва падает, но потом вновь поднимается.
Азимутальное движение оси волчка называется прецессией. Окончательное движение волчка состоит из вращения вокруг собственной оси, нутации и прецессии. Каждое из трех движений имеет ¦свою частоту. Если частоты несоизмеримы, то волчок никогда не возвращается в начальное состояние, хотя и подходит к нему сколь угодно близко.
§ 31. Спящий волчок и быстрый волчок
Полученные в § 30 формулы снодят решение уравнений движения волчка к эллиптическим кнадратурам. Однако качественные выводы о движении ¦обычно проще получать, не обращаясь к квадратурам.
В этом параграфе исследуется устойчивость вертикально стоящего волчка и даны приближенные формулы для движения быстро запущенного волчка.
А. Спящий волчок. Рассмотрим сперва частное решение уравнений движения, при котором ось волчка все время вертикальна (6 = 0) и угловая скорость постоянна («спящий» волчок). В зтом случае, очевидно, Mx = M3 = .Z3cu3 (рис. 129).
Задача. Показать, что стационарное вращение вокруг вертикали всегда неустойчиво по Ляпунову.
§ 31. спящий волчок и БЫСТРЫЙ волчок
137
Мы рассмотрим движение оси волчка, а не самого волчка. Будет ли ось волчка устойчиво оставаться вблизи вертикали, т. е. будет ли 6 оставаться малым? Разложим эффективную потенциальную энергию системы
(Mг—Л/scos 6)а
*7?фф 2Z1 sin2 Є
в ряд по степеням 6. Находим
mgl cos в
U
б4
вфф —
2/хб2,
в2
mgl—^--\----=
Рис. 129. Спящи» волчок
С+Ад2+..., А
4П
SI1
mgl
Если А ^> О, положение равновесия 6 = 0 одномерной системы устойчиво, а если А <[ 0,— неустойчиво. Итак, условие устойчивости имеет вид
«з->--%— •
Когда трение уменьшает скорость спящего волчка ниже этого предела, он просыпается.
Задача. Докажите, что при — ось спящего волчка ус-
тойчива и относительно таких возмущений, которые меняют значения Mx,
Б. Быстрый волчок. Волчок называется быстрым, если кинетическая энергия его вращения велика по сравнению с потенциальной:
-2-/3ю3;>/п^.
Из соображений подобия ясно, что увеличение угловой скорости в TV раз в точности эквивалентно уменьшению веса в JV'2 раз.
Теорема. Если, сохраняя начальное положение волчка, увеличить в N раз угловую скорость, то траектория волчка будет в точности такой же, как если бы угловая скорость осталась прежней, а ускорение силы тяжести g уменьшилось в N2 раз. При этом в случае большей угловой скорости траектория, разумеется, проходится в N раз быстрее*).
*) Обозначим через qrg (t, |) положение волчка в момент времени t
при начальном условии | = 7450(3) п ускорении силы тяжести g. Тогда теорема утверждает, что
<Pg (*, N%) = <Pjv-'g (Nt* 6)-
138
ГЛ. 6. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
Таким образом, мы можем исследовать случай g —> 0, и применять полученные результаты для изучения случая со —> оо.
Рассмотрим сперва случай g = 0, т. е. движение симметричного волчка в отсутствие силы тяжести. Сравним два описания этого движения: по Лагранжу (§ 30, Г) и по Пуансо (§ 29, В).
Рассмотрим вначале уравнение Лагранжа для изменения угла наклона оси волчка 6.
Лемма. В отсутствие силы тяжести угол 60, для которого Мг = M3 cos B0, является устойчивым положением равновесия
уравнения движения оси волчка. ' яфФ Частота малых колебаний б около этого поло-
жения равновесия равна
\_/ „ _ /зиз
^ -у шнут — ^ •
B0 В' Доказательство. В отсутствие силы тяже-
сти эффективная потенциальная энергия сводится к
Рис. 130. Эффек- ,яг _м,сачО\і
тиввая потен- тт _ \mz m з cos о;
циальная анергия эфф 2Z1 sin2 6
волчка
Эта неотрицательная функция имеет нулевой минимум при угле 6 = 60, определенном условием Mz = M3 cos да (рис. 130).
Итак, угол наклона 60 оси волчка к вертикали — устойчивый стационарный: при малом отклонении начального наклона 6 от 60 будут происходить периодические колебания в около 60 (нутация). Частоту этих колебаний легко определить по общей формуле: частота малых колебаний в одномерной системе с энергией ai2
