Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы перевести неподвижный репер (ех, еу, е2) в подвижный (ег, е2, е3), нужно выполнить три поворота:
1) на угол ср вокруг оси е2. При этом ег остается на месте, а ех переходит в е^.
2) на угол 6 вокруг оси е^. При этом ez переходит в е3, а е^ остается на месте.
3) на угол ч|з вокруг оси е3. При этом ву переходит в elt а е3 остается на месте.
Ось Волчка
Горизонтальная плоскость
Линия у злоб
Рис. 126. Углы Эйлера
§ 30. ВОЛЧОК ЛАГРАНЖА
133
В результате всех трех вращений ех переходит в ег, а е2 в е3, поэтому еу переходит в е2.
Углы ф, гр, в называются углами Эйлера. Легко доказывается Теорема. Каждой тройке чисел ф, в, гр предыдущая конструкция сопоставляет вращение трехмерного пространства В (ф, в, гр) ЄЕ SO(3), переводящее репер (ех, еу, ez) в репер (elf ez, е3). При этом отображение (ф, Э, гр) В (ф, в, гр) задает локальные координаты
О < ф < 2л, 0 < гр < 2л, 0 < Є < л
в конфигурационном пространстве волчка SO(3).
Подобно географической долготе, ф и гр можно считать углами mod 2л; при Э = 0 или в = л отображение (ф, в, гр) —> В имеет особенность типа полюса.
Б. Вычисление функции Лагранжа. Выразим функцию Лагранжа через координаты ф, в, гр и их производные.
Потенциальная энергия, очевидно, равна
U = ^ ^ zg dm = mgz0 = mgl cos 6,
где z0 — высота центра тяжести над О (рис. 125).
Сосчитаем кинетическую энергию. Здесь полезна маленькая хитрость: рассмотрим частный случай, когда ф = гр = 0.
Лемма. Угловая скорость волчка выражается через производные углов Эйлера по формуле
at = Qe1 -f- (ф sin в) е2 + (гр -j- ф cos в) е3,
если ф = гр = 0.
Доказательство. Рассмотрим скорость точки волчка, занимающей в момент времени t положение г. Через время dt эта точка займет положение (с точностью до (<Й)2)
В (ф + dq>, Є -f dQ, гр + dtyB+fa Є, гр)»%
где гіф = ср dt, dB = 6 dt, Ap = гр dt.
Следовательно, с той же точностью вектор перемещения есть сумма трех слагаемых
В (ф + dtp, Є, ipJjB"1 (ф, Є, гр)г — г = 1щ, r]dt,
В (ф, Є + dB, гр)/?"1 (ф, Є, гр)г — г = [щ, r]dt,
В (ф, Є, гр + а\р)В-г (ф, Є, гр)»« — г = r]dt
(угловые скорости соф, юе и ©ф определены этими формулами).
Поэтому скорость точки г есть V = [соф + сое + щ, И.^Итак, угловая скорость тела есть
СО — ©<р + ©е + ©?.
где слагаемые определены предыдущими формулами.
134
ГЛ. 6. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
Остается разложить по ег, е2, е3 векторы W4,, юе и щ. До сих пор мы не пользовались тем, что <р = Ip = 0. Если ср = rj: = 0, то
В (ф + <% Є, ч^/ГЧф, Є, ф)
есть просто вращение вокруг оси ех на угол е&р, так что
юф = (рег.
Далее, В (ф, Є + do, •»J))Zi-1 (ф, 6, if) есть в случае ф = ip = 0 просто вращение вокруг оси Єн = ех = ег на угол dQ, так что
©в = Be1.
Наконец, В (ф, в, if + Ap)Ti-1 (ф, Э, чр) есть вращение на угол dtp вокруг оси е3, поэтому
<йф = фе3.
Окончательно, при ф = ф = 0 получаем
а = фе2 + Be14- ч]>е3.
Но очевидно при ф = чр = 0
ez = e3cos в + е2 sin Э.
Итак, компоненты угловой скорости по осям иьэрции ev е2, е3 суть
CO1 = 6, CO2 = ф Sin в, CO3 = ф 4- Ф COS в, ч. т. д.
Поскольку T = -|- (Z1CO2 + Z2CO2, + Z3Co35), кинетическая энергия при ф = ijj = 0 дается формулой
T = А (б2 + cp2sinae) + -j-(i> + Ф cos Є)2.
Но кинетическая энергия от ф и чр зависеть не может: это циклические координаты, и не меняющим T выбором начала отсчета ф и ар мы всегда можем сделать ф = О, чр = 0.
Итак, полученная формула для кинетической энергии справедлива при всех ф, гр.
Мы получаем, таким образом, функцию Лагранжа
L = -^- (б2 + ср2 sin2 Є) 4- -у-(Ф + Ф cos Є)2 — mgl cos Є.
Г. Исследование движения. Циклическим координатам ф, чр соответствуют первые интегралы
ф (I1 sin2 Є 4-13 COS2B) 4- if>/3 cos6, ф/3 cos в 4- ф/3.
dL <9<р д/.
= Af,=
S 30. ВОЛЧОК ЛАГРАНЖА
135
Теорема. Наклон в оси волчка к вертикали меняется со временем так же, как в одномерной системе с энергией
где эффективная потенциальная энергия дается формулой TJ (M2- AZ3cos б)2 , , „
Доказательство. В соответствии с общей теорией выразим фиф через Af3 и M2. Получим полную энергию системы в виде
"ЪЖ"
и
M2 — M3 cos 6
I1 sin2 6
Ml
Постоянный по в член -ту=- =Е — E' на уравнение для Э не влияет Zi3 •
Теорема доказана.
Чтобы изучить полученную одномерную систему, удобно сделать замену cos в = и (—1 <^ и < 1).
Обозначая, кроме того,
M2 M3 , 2Е' 2mgl Q^A
мы можем переписать закон сохранения энергии E' в виде и2 = / (и), где / (и) = (о — ?w)(l — и2) — (а — бы)2, и закон изменения азимута ф в виде
а — Ъи
Ф = ¦
1 — и2
Заметим, что / (и) — полином третьей степени, / (+ oo ) = + oo а / (± 1) = — (а + Ъ)2 < 0, если только а Ф ± Ъ. С другой стороны, действительному движению отвечают лишь такие постоянные а, Ъ, а, ?, при которых / (и) О при некоторых —1 ^ <и<1.
Итак, / (и) имеет ровно два вещественных корня U1, U2 на отрезке —1 <J и <J 1 (и один при и > 1, рис. 127).
Следовательно, наклон оси волчка в меняется периодически между двумя предельными значениями B1, в2 (рис. 128).
