Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
E=—2~+U{x), U (X0) = min U (х) определяется формулой (§ 22, Г)
л» :
ff* Ott)
Энергия одномерной системы, описывающей колебания наклона оси волчка, есть
При 6 = G0 + X находим M2 — M3 cos в = M3 (cos 60 — cos (G0 + х)) = = M3X sin Q0+ О (Xі)
M|.a:*.sinaee /!Jcd*
^эФФ= 2/lSin'60 +о(*2) = -27Г*2+-'-'
откуда получаем для частоты нутации выражение
"нут — I1 т* х. ¦ M2-M3COsG
Из формулы ф = —-j—j-jg- видно, что при 6 = O0 азимут
оси также не меняется со временем: ось неподвижна. Азимутальное
§ 31. СПЯЩИЙ ВОЛЧОК И БЫСТРЫЙ волчок
139
Рис. 131. Сравнение описаний движения волчка по Лагранжу и по Пуансо
движение оси при малом отклонении G от O0 можно было бы также изучить с помощью этой формулы, но мы поступим иначе.
Движение волчка в отсутствие силы тяжести можно рассматривать как движение по Пуансо. Следовательно, ось волчка равномерно вращается вокруг вектора кинетического момента, сохраняющего свое положение в пространстве.
Итак, ось волчка описывает на сфере окружность, центр которой соответствует вектору кинетического момента (рис. 131).
Замечание. Таким образом, то движение оси волчка, которое по Лагранжу называется нутацией, в описании движения Пуансо называется прецессией.
Разумеется, полученная выше формула для частоты малой нутации соНут == І і® JIл. согласуется с формулой частоты прецессии со = MII1 в движении по Пуансо: когда амплитуда нутации стремится в нулю, Z3Co3 М.
В. Волчок в слабом поле. Перейдем теперь к случаю, когда сила веса не отсутствует, но очень мала (при зтом значения^Л/2, M3 фиксированы). В этом случае к эффективной потенциальной энергии добавляется слагаемое mgl cos 6, малое вместе с производными. Покажем, что это слагаемое мало меняет частоту нутации.
Лемма. Пусть функция f (х) имеет минимум при х=0и тейлоровское разложе-
ние / (х) = A -g- + - •., А > 0. Пусть функция
h (х) имеет в 0 тейлоровское разложение h (х) = В + Cx + ... Тогда при достаточно малом е функция /е (х) = / (х) + eh (х) имеет минимум в близкой к 0 точке (рис. 132) Ce
+ 0(82).
Рис. 132. Перемещение минимума при малом иаменении функции
При этом /е (хе) = А + О (е).
Действительно, имеем /е (х) = Ax + Ce+ 0(ех) + О (х2), и результат получается применением к /е (х) теоремы о неявной функции.
Согласно лемме эффективная потенциальная энергия при малых g имеет близкую к 60 точку минимума 6g, причем в этой точке U" мало отличается от XJ" (60). Следовательно, частота малой нутации около 60 близка к полученному при g = 0 значению:
Hm со,, у-г =
g-Ч)
-со,
140
ГЛ. 6. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
Г. Быстро запущенный волчок. Рассмотрим теперь специальные начальные условия, когда мы отпускаем ось волчка без начального толчка из положения с наклоном G0 к вертикали.
Теорема. Если в начальный момент ось волчка неподвижна (ф = 6 = 0) и волчок быстро вращается вокруг своей оси (со3 —*• —* оо), наклоненной к вертикали под углом G0 (Mx = M3 cos G0), то асимптотически при со3 —> оо:
1) частота нутации пропорциональна угловой скорости;
2) амплитуда нутации обратно пропорциональна квадрату угловой скорости;
3) частота прецессии обратно пропорциональна угловой скорости;
4) справедливы асимптотические формулы (при со3 —* оо)
со.
/з hmgl . й mgl
нут <й3, «нут--/2(i)2 Sin 0Oi Сопрец TJj^-
(здесь /(to3) — g(co3), если Hm — = l] .
Для доказательства перейдем к случаю, когда начальная угловая скорость фиксирована, но g —> 0.
Истолковывая затем полученные формулы с помощью подобия (см. пункт Б), получим сформулированную теорему.
Рис. 133. Определение амплитуды нутации
Рис. 134. Движение оси волчка
Мы уже знаем из § 30,Г, что при наших начальных условиях ось волчка чертит на сфере кривую с остриями.
Применим лемму к нахождению точки минимума Qg эффективной потенциальной энергии. Положим (рпс. 133)
в = O0 + х, cos 6 = cos G0 — X sin O0 + ... Тогда получим, как выше, тейлоровские разложения по х
U,
эфф |g=o = "27Г" *2 + ---. mg* cos 6 = mgl cos O0-xmgl sin G0 + ¦..
Применяя лемму к / = Ч^фф |g=0, g = Е, h = ml cos (60 + х), находим, что минимум эффективной потенциальной энергии и^фф достигается при угле наклона
hml sin B0 „ „ Bg = Q0+xg, xg= °g + 0(g*).
*зшз
§ 31. СПЯЩИЙ ВОЛЧОК И БЫСТРЫЙ волчок
141
Итак, наклон оси волчка 6 будет колебаться около Qg (рис. 134). Но в начальный момент 6 = 60, а 6 = 0. Значит, 60 соответствует наивысшему положению оси волчка. Итак, при малых g амплитуда нутации асимптотически равна
I\ml sin B0 анут~л:в~--Є (g-0).
Теперь найдем прецессионное движение оси. Из общей формулы
M2 — Л/3 cos Є *= h sin2 Є при Мг = M3 cos 60. 0 = 60 + х, находим
Mz — M3 cos 0 = M3 X sin 0О + . • .,
поэтому
• м* ,
/іьіп0о *+ —
Но X колеблется от 0 до 2rg гармонически (с точностью до О (if2)). Поэтому среднее за период нутации значение скорости прецессии асимптотически равно
