Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
<Р~ /lSin6o *г~7з^ {g^0)' Задача. Доказать, что
v(«>-«P(O) ,
Hm Um ,
/3ю3
ЧАСТЬ III ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
Гамильтонова механика — это геометрия в фазовом пространстве. Фазовое пространство имеет структуру симплектического многообразия. На симплектическом многообразии действует группа симплектических диффеоморфизмов. Основные понятия и теоремы гамильтоновой механики (даже если они и формулируются в терминах локальных симплектических координат) инвариантны относительно этой группы (и относительно более широкой группы преобразований, затрагивающих также и время).
Гамильтонова механическая система задается четномерным многообразием («фазовым пространством»), симплектической структурой на нем («интегральным инвариантом Пуанкаре») и функцией на нем («функцией Гамильтона»), Каждая однопараметри-ческая группа симплектических диффеоморфизмов фазового пространства, сохраняющих функцию Гамильтона, связана с первым интегралом уравнений движения.
Лагранжева механика включается в гамильтонову как частный случай (фазовое пространство в зтом случае есть кокасательное расслоение конфигурационного, а функция Гамильтона — преобразование Лежандра функции Лагранжа).
Гамильтонова точка зрения позволяет исследовать до конца ряд задач механики, не поддающихся решению иными средствами (например, задачу о притяжении двумя неподвижными центрами и задачу о геодезических на трехосном эллипсоиде). Еще большее значение гамильтонова точка зрения имеет для приближенных методов теории возмущений (небесная механика), для понимания общего характера движения в сложных механических системах (эргодическая теория, статистическая механика) и в связи с другими разделами математической физики (оптика, квантовая механика и т. п.).
ГЛАВА 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Дифференциальные внешние формы возникают при обобщении на многомерный случай таких понятий, как работа поля на пути и поток жидкости через поверхность.
Гамильтонову механику нельзя понять без дифференциальных форм. Нужные нам сведения о дифференциальных формах — это внешнее умножение, внешнее дифференцирование, интегрирование и формула Стокса.
§ 32. ВНЕШНИЕ ФОРМЫ
143
§ 32. Внешние формы
Здесь определены внешние алгебраические формы.
А. 1-формы. Пусть В" — n-мерное вещественное линейное пространство *). Векторы этого пространства будем обозначать через і, TJ, . . .
Определение. Формой степени 1 (или, короче, !-формой) называется линейная функция от вектора, со: Вп -> В,
g> (Kh + Kh) = К® (Si) + К® (I2), v*i> K є R, Ii, I2 є в".
Напомню основные факты об 1-формах, известные из линейной алгебры. Множество всех 1-форм превращается в вещественное линейное пространство, если определить сумму форм формулой
(CO1 + CO2) (I) = CO1 (I) + CO2 (S),
F(awa)
^[перемещение)
а умножение на число — формулой
(Лео) (I) - Лео (I). рис 135 раб0та
„ силы—1-форма от
Пространство 1-форм на К само n-мерно и на- перемещения зывается также сопряженным пространством, (Вп) *.
Пусть в В" выбрана линейная система координат, X1, . . ., хп. Каждая координата, например хи сама является 1-формой. Эти п 1-форм линейно независимы. Поэтому каждая 1-форма со имеет вид
со = CL1X1 + . . . + anxn, at E= В.
Значение со на векторе § равно
со(|) = U1X1(I) + . . • + ClnXn(I),
где Z1(I), • • ч ^n(I) — компоненты вектора I в выбранной системе координат.
Пример. Если в евклидовом R3 дано однородное силовое поле F, *о его работа А на перемещении | есть 1-форма от | (рис. 135).
Б. 2-формы.
Определение. Внешней формой степени 2 (или, короче, 2-формой) называется функция от пары векторов, со2: Bn X X В" -> В, которая билинейна и кососимметрична:
со2 (Kh + Kh, I3) = К<»2 (Si, I3) + V2 (S2, S3), со2 (Si, S2) =-со2 (S2, Si),
VA1, К €= К, S1, |2 Ez В".
*) Существенно отметить, что мы не фиксируем в Rn никакой специальной евклидовой структуры. В некоторых примерах такая структура используется; тогда это специально оговорено — («евклидово Rn»).
144
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Пример 1. Пусть S (I1, |2) — ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах I1, |2 ориентированной евклидовой плоскости R2, т. е.
h2 і22
где
Sl = І11Є1 + і12є2,
і2 = і21<5і +
где C1, с2 — базис, задающий ориентацию R2.
Легко видеть, что S (|17 |2) есть 2-форма (рис. 136).
Пример 2. Пусть V — однородное поле скоростей жидкости в трехмерном ориентированном евклидовом пространстве (рис. 137). Тогда поток
Рис. 136. Ориентированная площадь — 2-форма
Рис. 137. Поток жидкости через площадку — 2-форма
жидкости через площадь параллелограмма I1, |2 есть билинейная кососим-метрическая функция от I1, |2, т. е. 2-форма
со2 (I1, |2) = (V, I1, |2).
Пример 3. Ориентированная площадь проекции параллелограмма со сторонами I1, |2 в евклидовом R3 на плоскость X1, х2 есть 2-форма.
Задача 1. Докажите, что для всякой 2-формы ©2 в R" имеем
со2 (|,1) = О, УІЄВЛ
Решение. Ввиду кососимметричности к>2(|, I) = —©2 (|, |)-Множество всех 2-форм в R" превращается в вещественное линейное пространство, если определить сложение форм формулой
