Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Приведение к нормальным формам различных объектов диффеоморфизмами, сохраняющими волновые фронты или каустики,— основное техническое средство исследования геометрии си-
V тт JfHC ueKTODHOe UUJIB HVJlU-
СТЄМ ЛУЧЄИ И фрОНТОВ. Например, ИС- аи ласточкиного хвоста
следование метаморфоз движущегося
волнового фронта основано на результате, «двойственном» предыдущему:
Теорема (1976). Голоморфные функции общего положения, равные 0 в «самой особой» точке фронта простой особенности, ло-
454
ДОБАВЛЕНИЕ 15
кально переводятся друг в друга голоморфным диффеоморфизмом, сохраняющим фронт.
Пример. В окрестности особой точки ласточкина хвоста функция общего положения сохраняющим хвост диффеоморфизмом приводится к нормальной форме а.
Эта теорема — частный случай эквивариантной леммы Морса. Применяется она так. Мгновенные волновые фронты образуют в пространстве-времени «большой фронт». Время — функция в пространстве времени. Приводим ее к нормальной форме сохраняющим большой фронт диффеоморфизмом. Мы получили нормальную форму метаморфозы мгновенного фронта. Метаморфозы фронтов в R8 изображены на рис. 258. Точно так же решается задача о метамор-
Рис. 258. Типичные перестройки волновых фронтов
фозах каустик в однопараметрических семействах общего положения (рис. 255). Это — задача о приведении к нормальной форме функции (времени) на пространстве — времени при помощи преобразования, сохраняющего «большую каустику». Если размерность пространства-времени не превосходит четырех, большая каустика имеет лишь особенности типов А и D.
Каустики лагранжевых особенностей серии А отличаются от волновых фронтов серии А лишь сдвигом номера на единицу. Поэтому и метаморфозы каустик серии А — такие же, как у фронтов.
Каустики серии D отличаются от фронтов. Нормальные формы функции времени общего положения в окрестности особенности каустики серии D найдены В. М. Закалюкиным (1975). Топологические нормальные формы функции времени особенно просты:
ОСОБЕННОСТИ СИСТЕМ ЛУЧЕЙ
455
Каустика
R-случай
С-случай
Dc
d4+
a.1±a.2, + ^4
^2К+1
±я.і
я-1 ±
Здесь большая каустика D11. задается условиями: {X: F (•,X) имеет вырожденную критическую точку}, где
F(х, X) = ±х\х, + ¦J1^-J-а? + яГ2 + • • • + VA + 2Va-
Приведение ростка функции времени к нормальным формам осуществляется локальным гомеоморфизмом пространства R)i-i (О-1), сохраняющим большую каустику и гладким всюду, кроме точки О (В. И. Бахтин, Вестник МГУ.— 1987.— Вып. 4.— С. 58—61).
Дж. Най (J. Nye, 1984)заметил, что не все метаморфозы каустик и фронтов реализуются при движении фронта, определяемом уравнением эйконала (или Гамильтона — Якоби). Например, каустика системы лучей не может иметь вид «губ» с двумя точками возврата (хотя каустика лагранжева отображения — может). Дело в том, что включение лагранжева или лежандрова многообразия в гиперповерхность, заданную уравнением Гамильтона — Якоби или эйконала, накладывает топологические ограничения на сосуществование, а значит, и на метаморфозы особенностей (особенно в случае невырожденного, например, строго выпуклого по импульсам гамильтониана),— хотя сами по себе особенности реализуются и на гиперповерхности.
Диффеоморфизмам, сохраняющим фронт, отвечают векторные поля, касающиеся его.
Исследование этих полей приводит к своеобразной операции «сворачивания инвариантов» группы, порожденной отражениями. Паре инвариантов (функций на пространстве орбит) мы сопоставляем новый инвариант — скалярное произведение градиентов этих функций (поднятых с пространства орбит в исходное евклидово пространство).
Линеаризация этой операции определяет билинейное симметрическое отображение кокасательного пространства к пространству орбит в себя.
Теорема (1979). Линеаризованное сворачивание инвариантов группы, порожденной отражениями, изоморфно, как билинейная операция, операции на локальной алгебре соответствующей особенности, заданной формулой (р, q) S (p~q), где S = D + + (2Ih) Е, дифференцирование D — эйлерово квазиоднородное, h — число Кокстера.
456
ДОБАВЛЕНИЕ 15
В 1981 г. А. Н. Варченко и А. Б. Гивенталь (которому принадлежит также доказательство этой теоремы для исключительных групп) указали далекие ее обобщения. Евклидову структуру они заменили формой пересечений подходящего невырожденного отображения периодов семейства голоморфных дифференциальных форм на слоях расслоения Милнора версального семейства функций. Невырожденная форма пересечений определяет (в зависимости от четности числа переменных) либо локально плоскую псевдоевклидову метрику со стандартной особенностью на лежандровом фронте, либо симплектическую структуру, голоморфно продолжающуюся на фронт.
Пример. Пространство многочленов нечетной степени со старшим коэффициентом 1 и суммой корней 0 получает еще одну симплектическую структуру. Относительно этой структуры многообразие многочленов с максимально возможным числом двукратных корней оказывается лагранжевым.
При вырождении формы пересечений симплектическая структура заменяется пуассоновой (см. добавление 13).
