Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 190

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 184 185 186 187 188 189 < 190 > 191 192 193 194 .. 195 >> Следующая


Пример 2. Рассмотрим симплектическое многообразие многочленов F = X1 + A1X1*-1 + - • • +^d четной степени d = = 2т. Многочлены, делящиеся на хт, образуют в нем лагранжево подмногообразие.

Рассмотрим гамильтониан сдвигов вдоль оси х. [Этот многочлен

от А равен h = S (—I)1FWF®, і + j = d, F& = d^FldxW Гиперповерхность h = О касается лагранжева многообразия L по пространству I многочленов, делящихся на xm+1, и образует с ними триаду.

Эта триада порождает лагранжев раскрытый ласточкин хвост размерности т — 1 (многообразие многочленов Xа-1 + O1X^-3 + + . . . + Orf_2, имеющих корень кратности большей половины степени).

462

ДОБАВЛЕНИЕ 15

T е о р е м а (А. Б. Гивенталь, 1982). Триада примера 2 устойчива. Ростки триад общего положения во всех точках симплекти-чески диффеоморфны росткам триад примера 2.

Следствие. Многообразие лучей, касающихся геодезических системы экстремалей задачи об обходе препятствия общего положения, локально симплектически диффеоморфно лагранжеву раскрытому ласточкину хвосту.

В контактной геометрии с задачей об обходе препятствия связаны два лежандровых многообразия с особенностями: многообразие контактных элементов фронта и многообразие 1-струй функции времени. Первое из них диффеоморфно накрывает лагранжев открытый ласточкин хвост, второе диффеоморфно цилиндру под первым.

Пример. Рассмотрим задачу об обходе препятствия на плоскости, ограниченного кривой с точкой перегиба. Фронты — эвольвенты кривой. Они имеют по две точки возврата: обычная точка возврата (порядка 3/2) на самой кривой и особенность порядка 5/2 на касательной перегиба (рис. 264). В точке над кривой лежандрово многообразие неособо, а над точкой касательной перегиба лежанд- ii рово многообразие имеет точку возврата порядка 3/2.

Касательная перегиба

/

Рис. 264. Эвольвенты кубической параболы

Кривая /

Рис. 265. Поверхность многочленов с кратными корнями

Теорема (1978). Поверхность в пространстве контактных элементов плоскости, расслоенном над плоскостью, образованная всеми контактными элементами эвольвент кривой общего положения вблизи точки перегиба кривой, локально диффеоморфна поверхности, образованной всеми многочленами с кратными корнями в пространстве многочленов Xs + ах2 + Ъх + с, расслоенном на прямые, параллельные оси Ъ.

Эта поверхность (рис. 265), вместе с поверхностью с = 0 приложенных на кривой элементов, образуют многообразие нерегулярных орбит группы отражений B3. Это наблюдение привело к теории краевых особенностей (1978).

Пример (И. Г. Щербак, 1982). Рассмотрим кривую общего положения на поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. В отдельных точках направление кривой совпадает с направлени-

ОСОБЕННОСТИ СИСТЕМ ЛУЧЕЙ

463

ем линии кривизны. Из теории лагранжевых краевых особенностей следует, что с такой точкой связана группа Вейля F4: фокальные точки поверхности (A2), фокальные точки кривой (A2) и нормали к поверхности в точках кривой (B2) образуют вблизи центра кривизны каустику F4 (рис. 266).

Не останавливаясь подробно на теории краевых особенностей, отмечу «двойственность Лагранжа», переставляющую функцию и ее ограничение на край (с точностью до стабильной эквивалентности): такова современная трактовка правила множителей Лагранжа (И. Г. Щербак, 1982).

Возращаясь к точке перегиба плоской кривой, рассмотрим еще график многозначной функции времени в задаче об обходе препятствия. Линии уровня времени — эвольвенты. Поэтому график име-

О. В. Ляшко многообразие S нерегулярных орбит группы TT3 (группы симметрии икосаэдра). Гипотеза Гивенталя вскоре была доказана:

Теорема (О. П. Щербак, 1982). График (многозначной) функции времени в задаче об обходе препятствия, ограниченного плоской кривой общего положения, в окрестности точки перегиба кривой диффеоморфен многообразию S.

В доказательстве использована

Теорема (О. В. Ляшко, 1981). Многообразие!!, диффеоморф-но многообразию многочленов хъ + ах* + bx2 + с, имеющих кратный корень.

Теорема Ляшко описывает многообразие нерегулярных орбит группы Hs как объединение касательных к пространственной кривой (t, F, і6), а теорема Щербака — к кривой (t + о (t), P + о (P), *5 + о (t6)).

Такую же особенность имеет фронт общего положения в точке касания асимптотического луча с поверхностью препятствия в R3.

Рис. 266. Фокальные точки поверхности с краем

Рис. 267. График функции времени вблизи точки перегиба границы препятствия

464

добавление 15

Опишем, наконец, вариационную задачу, приводящую к особенности H4 (по О. П. Щербаку).

Группа H4 состоит из симметрии правильного многогранника в R4. Его 120 вершин лежат на S3 as SU(2) и образуют бинарную группу икосаэдра (бинарная группа двулистно накрывает группу вращений икосаэдра при накрытии S3 ->- SO(3)).

Рассмотрим в евклидовом R3 препятствие, ограниченное гладкой поверхностью. Экстремали, соединяющие точку вне препятствия со всеми точками в обход препятствия, образуют на поверхности препятствия пучок (однопараметрическое семейство) геодезических. Функцией времени называется расстояние до фиксированного начального многообразия (например, точки) вдоль стационарного (не обязательно минимального) пути из отрезков геодезических и их касательных, рассматриваемое как (многозначная) функция конечной точки пространства (решение уравнения Гамильтона — Якоби).
Предыдущая << 1 .. 184 185 186 187 188 189 < 190 > 191 192 193 194 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed