Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Пример 2. Рассмотрим симплектическое многообразие многочленов F = X1 + A1X1*-1 + - • • +^d четной степени d = = 2т. Многочлены, делящиеся на хт, образуют в нем лагранжево подмногообразие.
Рассмотрим гамильтониан сдвигов вдоль оси х. [Этот многочлен
от А равен h = S (—I)1FWF®, і + j = d, F& = d^FldxW Гиперповерхность h = О касается лагранжева многообразия L по пространству I многочленов, делящихся на xm+1, и образует с ними триаду.
Эта триада порождает лагранжев раскрытый ласточкин хвост размерности т — 1 (многообразие многочленов Xа-1 + O1X^-3 + + . . . + Orf_2, имеющих корень кратности большей половины степени).
462
ДОБАВЛЕНИЕ 15
T е о р е м а (А. Б. Гивенталь, 1982). Триада примера 2 устойчива. Ростки триад общего положения во всех точках симплекти-чески диффеоморфны росткам триад примера 2.
Следствие. Многообразие лучей, касающихся геодезических системы экстремалей задачи об обходе препятствия общего положения, локально симплектически диффеоморфно лагранжеву раскрытому ласточкину хвосту.
В контактной геометрии с задачей об обходе препятствия связаны два лежандровых многообразия с особенностями: многообразие контактных элементов фронта и многообразие 1-струй функции времени. Первое из них диффеоморфно накрывает лагранжев открытый ласточкин хвост, второе диффеоморфно цилиндру под первым.
Пример. Рассмотрим задачу об обходе препятствия на плоскости, ограниченного кривой с точкой перегиба. Фронты — эвольвенты кривой. Они имеют по две точки возврата: обычная точка возврата (порядка 3/2) на самой кривой и особенность порядка 5/2 на касательной перегиба (рис. 264). В точке над кривой лежандрово многообразие неособо, а над точкой касательной перегиба лежанд- ii рово многообразие имеет точку возврата порядка 3/2.
Касательная перегиба
/
Рис. 264. Эвольвенты кубической параболы
Кривая /
Рис. 265. Поверхность многочленов с кратными корнями
Теорема (1978). Поверхность в пространстве контактных элементов плоскости, расслоенном над плоскостью, образованная всеми контактными элементами эвольвент кривой общего положения вблизи точки перегиба кривой, локально диффеоморфна поверхности, образованной всеми многочленами с кратными корнями в пространстве многочленов Xs + ах2 + Ъх + с, расслоенном на прямые, параллельные оси Ъ.
Эта поверхность (рис. 265), вместе с поверхностью с = 0 приложенных на кривой элементов, образуют многообразие нерегулярных орбит группы отражений B3. Это наблюдение привело к теории краевых особенностей (1978).
Пример (И. Г. Щербак, 1982). Рассмотрим кривую общего положения на поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. В отдельных точках направление кривой совпадает с направлени-
ОСОБЕННОСТИ СИСТЕМ ЛУЧЕЙ
463
ем линии кривизны. Из теории лагранжевых краевых особенностей следует, что с такой точкой связана группа Вейля F4: фокальные точки поверхности (A2), фокальные точки кривой (A2) и нормали к поверхности в точках кривой (B2) образуют вблизи центра кривизны каустику F4 (рис. 266).
Не останавливаясь подробно на теории краевых особенностей, отмечу «двойственность Лагранжа», переставляющую функцию и ее ограничение на край (с точностью до стабильной эквивалентности): такова современная трактовка правила множителей Лагранжа (И. Г. Щербак, 1982).
Возращаясь к точке перегиба плоской кривой, рассмотрим еще график многозначной функции времени в задаче об обходе препятствия. Линии уровня времени — эвольвенты. Поэтому график име-
О. В. Ляшко многообразие S нерегулярных орбит группы TT3 (группы симметрии икосаэдра). Гипотеза Гивенталя вскоре была доказана:
Теорема (О. П. Щербак, 1982). График (многозначной) функции времени в задаче об обходе препятствия, ограниченного плоской кривой общего положения, в окрестности точки перегиба кривой диффеоморфен многообразию S.
В доказательстве использована
Теорема (О. В. Ляшко, 1981). Многообразие!!, диффеоморф-но многообразию многочленов хъ + ах* + bx2 + с, имеющих кратный корень.
Теорема Ляшко описывает многообразие нерегулярных орбит группы Hs как объединение касательных к пространственной кривой (t, F, і6), а теорема Щербака — к кривой (t + о (t), P + о (P), *5 + о (t6)).
Такую же особенность имеет фронт общего положения в точке касания асимптотического луча с поверхностью препятствия в R3.
Рис. 266. Фокальные точки поверхности с краем
Рис. 267. График функции времени вблизи точки перегиба границы препятствия
464
добавление 15
Опишем, наконец, вариационную задачу, приводящую к особенности H4 (по О. П. Щербаку).
Группа H4 состоит из симметрии правильного многогранника в R4. Его 120 вершин лежат на S3 as SU(2) и образуют бинарную группу икосаэдра (бинарная группа двулистно накрывает группу вращений икосаэдра при накрытии S3 ->- SO(3)).
Рассмотрим в евклидовом R3 препятствие, ограниченное гладкой поверхностью. Экстремали, соединяющие точку вне препятствия со всеми точками в обход препятствия, образуют на поверхности препятствия пучок (однопараметрическое семейство) геодезических. Функцией времени называется расстояние до фиксированного начального многообразия (например, точки) вдоль стационарного (не обязательно минимального) пути из отрезков геодезических и их касательных, рассматриваемое как (многозначная) функция конечной точки пространства (решение уравнения Гамильтона — Якоби).