Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
нашел локальную нормальную форму па- 065Hf дау* Кгаволю°дайЄДе" ры гиперповерхностей симплектического
пространства в описанной ситуации (в С°°-постановке, так как в аналитическом случае ряды расходятся, как в теориях Экаля (1975) и Воронина (1981) резонансных динамических систем).
Для более сложных особенностей (например, вблизи асимптотического орта) пара гиперповерхностей имеет модули. Для двух следующих за складкой особенностей можно привести (по меньшей мере формально) к нормальной форме пару (первая гиперповерхность; след второй на ней). Это позволяет изучить особенности отображения, сопоставляющего краевому орту определяемый им луч в окрестности асимптотического и биасимптотического ортов. Критические значения этого отображения в симплектическое пространство прямых описывает
460
ДОБАВЛЕНИЕ 15
Теорема (1981). Все симплектические структуры общего положения в окрестности точки прямого произведения ласточкина .хвоста на линейное пространство формально диффеоморфны.
Ибо вблизи биасимптотического луча многообразие касательных лучей локально диффеоморфно произведению ласточкина хвоста на прямую.
Ж. Задача об обходе препятствия. Рассмотрим в евклидовом пространстве препятствие, ограниченное гладкой поверхностью. •Задача об обходе препятствия состоит в исследовании особенностей кратчайшего расстояния от переменной точки пространства до фиксированного начального множества в обход препятствия. (См. Гивенталь А. Б. Особые лагранжевы многообразия и их лагранжевы отображения // Современные проблемы математики. Новейшее достижения. - 1988.—Т. 33, ВИНИТИ. С. 55—112).
Кратчайший путь состоит из отрезков прямых и отрезков геодезических на поверхности препятствия (рис. 262). Рассмотрим лоэтому систему геодезических на поверхности препятствия, ортогональных фиксированному фронту. Си--^ё^. стема всех лучей, касательных к этим \\ геодезическим,— лагранжево подмного-V образне в симплектическом многообра-/ \ зии прямых (как и всякая система экст-\ ремалей решения вариационной задачи).
.рис. 262. кратчайший путь в Но если в обычных вариационных зада-обход препятствия чах лагранжево многообразие гладко
(даже в присутствии каустик), то в задаче об обходе препятствия само лагранжево многообразие имеет -особенности.
Из последней теоремы вытекает
Следствие (1981). Лагранжево многообразие в задаче об ¦обходе препятствия общего положения имеет ребро возврата полу-жубического типа вблизи асимптотического луча и особенность, диффеоморфную раскрытому ласточкину хвосту, вблизи биасимптотического.
Раскрытый ласточкин хвост — это поверхность в четырехмерном пространстве многочленов хъ + Ax3 + Bx2 + Cx + D, образованная многочленами с трехкратными корнями. Дифференцирование многочленов отображает раскрытый ласточкин хвост в обычный; при раскрывании ласточкина хвоста ребро возврата ¦сохраняется, а самопересечение исчезает (рис. 263).
Теорема (1981). При движении волнового фронта общего положения ребра возврата мгновенных фронтов заметают раскрытый ласточкин хвост в четырехмерном пространстве-времени (над обычным ласточкиным хвостом каустики).
Теорема (О. П. Щербак, 1982). Рассмотрим общее однопа-раметрическое семейство пространственных кривых и предположим, что при некотором значении параметра (времени) одна из кривых
ОСОБЕННОСТИ СИСТЕМ ЛУЧЕЙ
461
имеет точку биупдощения (типа t1, t2, t5). Тогда проективно двойственные кривые образуют в пространстве-времени поверхность, локально диффеоморфную раскрытому ласточкину хвосту.
Раскрытый хвост — первый представитель большой серии особенностей. Рассмотрим в многообразии многочленов хп + A1X*1-2 + + . . . + Я„_! множество всех многочленов с корнем фиксированной кократности к, (х — а)п~к (хк + . . .). Дифференцирование многочленов сохраняет кократность корня.
Теорема (А. Б. Гивенталь, 1981). Последовательность пространств многочленов с корнем фиксированной кократности стабилизируется с ростом степени, начиная с п = 2k + 1 (т. е. с момента расщепления самопересечений).
Пример. Раскрытый ласточкин хвост — первое стабильное многообразие над обычным. !
Появление раскрытого хвоста в задаче у об обходе препятствия аксиоматизировано в теории триад Гивенталя (1982).
Определение. Симплектическая риС. 263. Раскрытый лас-
триада (H, L, V) состоит из гладкой гипер- точкин хвост поверхности H в симплектическом многообразии и лагранжева многообразия L, касающегося с ней с первым порядком касания вдоль своей гиперповерхности L
Лагранжевым многообразием (с особенностями), порожденным триадой, называется образ I в многообразии характеристик гиперповерхности Н.
Пример 1. Рассмотрим в задаче об обходе препятствия с границей Г CZ R™ расстояние вдоль геодезической до начального фронта как функцию s: Г-vR. Многообразие L всех продолжений 1-форм с Г на R" вместе с гиперповерхностью H: р2 = 1 определяет триаду.
Эта триада порождает в точности многообразие лучей, касательных к геодезическим нашей системы экстремалей на Г.
