Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Теорема (О. С. Щербак, 1984). Для препятствия общего положения график функции времени локально диффеоморфен многообразию 2 нерегулярных орбит группы H4 в фокальной для пучка точке асимптотической касательной к геодезической пучка в параболической точке поверхности. Явная параметризация 2:
(а, Ъ212 + ас, C2Il + ab3,
ЬЧ5 + с3/3 + аЪ3с). Рис. 268. Каустика группы H4
Соответствующая каустика изображена на рис. 268. Группа H4 связана с четырехмерным пространством базы версальной деформации E8 (эта связь уже указывалась в замечании 7 § 9 статьи: Арнольд В. И. Индексы особых точек 1-форм на многообразии с краем, сворачивание инвариантов групп, порожденных отражениями, и особые проекции гладких поверхностей//УМН.—1979.— Т. 34, вып. 2.— С. 3—38).
Соответствующее этому четырехмерному подпространству вложение локальной алгебры D4 в локальную алгебру Еь индуцирует на первой именно ту градуировку, которая задается сворачиванием инвариантов H4. О. П. Щербак доказал, что эта связь доставляет еще одно описание многообразия нерегулярных орбит H4;.
T е о рема. Рассмотрим те значения К, для которых кривая хъ + У3 + K3^V + 1^z3? + ^sU + ^4 = 0 особа. Одна из неприводимых компонент этой трехмерной гиперповерхности {%} диф-феоморфна многообразию нерегулярных орбит группы H4.
УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА — ДЕ ФРИЗА
465
а
Рис. 269. Типичная перестройка фронта при обходе препятствия
Три типичных сечения многообразия нерегулярных орбит Ht изображены на рис. 269.
Добавление 16 УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА — ДЕ ФРИЗА
Не все первые интегралы уравнений классической механики объяснены явной симметрией задачи (примеры — специфические интегралы задачи Кеплера, задачи о геодезических на эллипсоиде и т. п.). В таких случаях говорят о «скрытой симметрии».
Интересные примеры такой скрытой симметрии доставляет уравнение Кортевега — де Фриза
щ = 6иих — иххх. (1)
466
ДОБАВЛЕНИЕ 16
Это нелинейное уравнение с частными производными возникло первоначально в теории мелкой воды; впоследствии оказалось, что это же уравнение встречается в целом ряде задач математической физики *).
В результате серии численных экспериментов были обнаружены удивительные свойства решений этого уравнения с нулевыми граничными условиями на бесконечности: эти решения при t —> + оо и t —* — оо распадаются на «солитоны» — волны определенной формы, бегущие с разными скоростями.
Чтобы получить солитон, бегущий со скоростью с, достаточно подставить в уравнение (1) функцию и = <р (х — et). Для ф получится тогда уравнение ф" = Зф2 + сф + d (d — параметр). Это — уравнение Ньютона с кубическим потенциалом. На фазовой плоскости (ф, ф') имеется седло. Сепаратриса, идущая из седла в седло, в котором ф = 0, определяет стремящееся к О при X —» +joo решение ф; оно и есть солитон.
При столкновениях солитонов наблюдается довольно сложное нелинейное взаимодействие. Однако численный эксперимент показал, что размеры и скорости солитонов не меняются в результате столкновения. Это обстоятельство навело на мысль о законах сохранения. И действительно, Крускалу, Забусскому, Лаксу, Гарднеру, Грину и Миуре удалось найти целую серию первых интегралов для уравнения Кортевега — де Фриза. Эти интегралы"имеют вид I8 = J Ps (и, . . ., u(s)) dx,' где Ps — многочлен." Например, легко проверить, что первыми интегралами уравнения (1) являются
Появление бесконечной серии первых интегралов легко объясняется следующей теоремой Лакса**). Будем обозначать оператор умножения на функцию от х знаком этой функции, а оператор дифференцирования по ж — символом д. Рассмотрим зависящий от функции и (х) оператор Штурма — Лиувилля L = —d2 + и. Непосредственно проверяется
Теорема. Уравнение Кортевега — де Фриза (1) эквивалентно уравнению и = [L, А], где А = 4д3 — 3 (ид + ди).
*) Уравнение Кортевега — де Фриза является уравнением Эйлера для геодезического потока (ср. добавление 2).
Соответствующая бесконечномерная группа называется группой Вирасо-ро и является одномерным центральным расширением группы диффеоморфизмов окружности. См. Овсиенко В. Ю., ХесинБ. А. Суперуравнение Кортевега — де Фриза как уравнение Эйлера//Функц. анализ и его прилож.— 1987.— Т. 21. вып. 4.— С. 81—82.
**) Л а к с П. Д. Интегралы эволюционных уравнений и уединенные волны // Математика.— 1969.— Т. 13, № 5.— С. 128—150.
УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА — ДЕ ФРИЗА
467
Из этой теоремы «Лакса непосредственно вытекает Следствие. Операторы L, построенные по решению уравнения (1), при всех t унитарно эквивалентны; в частности, каждое из собственных чисел "к задачи Штурма — Лиувилля Lf = 1Kf с нулевыми условиями на бесконечности является первым интегралом уравнения Кортевега — де Фриза.
В.Е.Захаров и Л.Д.Фаддеев заметили,что уравнение (1) является вполне интегрируемой бесконечномерной гамильтоновой системой, и указали соответствующие переменные действие — угол *). Симплектическая структура в пространстве убывающих на бесконечности функций и (х) задается кососкалярным произве-
дением и2 (dw, dv) = -j- \ (и> dv — и dw) dx, а гамильтонианом урав-
